Номер 86, страница 30 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

86. Выяснить, при каких значениях $x$ значения функции $y = |x|$:

1) равны 3;

2) больше 2;

3) меньше 1;

4) меньше -2;

5) больше -1.

Дана функция $y = |x|$. Найдем, при каких значениях $x$ выполняются заданные условия.

1) равны 3

Нам нужно решить уравнение $y = 3$, то есть $|x| = 3$.
По определению, модуль числа — это расстояние от этого числа до нуля на числовой оси. Уравнение $|x| = 3$ означает, что нам нужно найти числа, расстояние от которых до нуля равно 3. Таких чисел два: 3 и -3.
Следовательно, $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
Ответ: $x = -3, x = 3$.

2) больше 2

Нам нужно решить неравенство $y > 2$, то есть $|x| > 2$.
Это неравенство означает, что расстояние от $x$ до нуля должно быть больше 2. На числовой прямой это все числа, которые находятся правее точки 2, и все числа, которые находятся левее точки -2.
Это соответствует двум неравенствам: $x > 2$ или $x < -2$.
В виде интервалов это записывается как объединение: $(-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

3) меньше 1

Нам нужно решить неравенство $y < 1$, то есть $|x| < 1$.
Это неравенство означает, что расстояние от $x$ до нуля должно быть меньше 1. На числовой прямой это все числа, которые находятся между -1 и 1, не включая сами точки -1 и 1.
Это соответствует двойному неравенству: $-1 < x < 1$.
В виде интервала это записывается как $(-1; 1)$.
Ответ: $x \in (-1; 1)$.

4) меньше -2

Нам нужно решить неравенство $y < -2$, то есть $|x| < -2$.
По определению, модуль любого действительного числа $|x|$ является неотрицательной величиной, то есть $|x| \ge 0$.
Неравенство требует, чтобы неотрицательное число было меньше отрицательного числа -2, что невозможно ни при каких значениях $x$.
Следовательно, данное неравенство не имеет решений.
Ответ: решений нет.

5) больше -1

Нам нужно решить неравенство $y > -1$, то есть $|x| > -1$.
Как мы уже отмечали, модуль любого действительного числа $|x|$ всегда неотрицателен: $|x| \ge 0$.
Любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа, в частности, больше -1. Таким образом, неравенство $|x| > -1$ справедливо для любого действительного числа $x$.
Ответ: $x$ - любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$ или $x \in (-\infty; +\infty)$).