Номер 18, страница 11 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

18. Выполнить действия:

1) $ \left(\frac{1}{a^2 - b^2} + \frac{b}{a^3 + b^3}\right) : \frac{a^2}{a^6 - b^6}; $

2) $ \left(\frac{6a}{a^2 - 4b^2} + \frac{2}{2b - a} - \frac{4}{2b + a}\right) : \left(1 + \frac{a^2 + 4b^2}{4b^2 - a^2}\right); $

3) $ \left(\frac{y}{x^3 - x^2y + xy^2} + \frac{x - 2y}{x^3 + y^3}\right) \cdot \frac{x^3 - xy^2}{x^2 + y^2} + \frac{2y^2}{x^3 + x^2y + xy^2 + y^3}. $

1) Выполним действия для выражения $\left(\frac{1}{a^2 - b^2} + \frac{b}{a^3 + b^3}\right) : \frac{a^2}{a^6 - b^6}$.

Сначала упростим выражение в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители, используя формулы разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

$\frac{1}{(a-b)(a+b)} + \frac{b}{(a+b)(a^2 - ab + b^2)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(a-b)(a+b)(a^2 - ab + b^2)$:

$\frac{1 \cdot (a^2 - ab + b^2) + b \cdot (a-b)}{(a-b)(a+b)(a^2 - ab + b^2)} = \frac{a^2 - ab + b^2 + ab - b^2}{(a-b)(a+b)(a^2 - ab + b^2)} = \frac{a^2}{(a-b)(a+b)(a^2 - ab + b^2)}$

Теперь преобразуем делитель. Разложим знаменатель $a^6 - b^6$ на множители как разность квадратов $(a^3)^2 - (b^3)^2$, а затем как разность и сумму кубов:

$a^6 - b^6 = (a^3 - b^3)(a^3 + b^3) = (a-b)(a^2+ab+b^2)(a+b)(a^2-ab+b^2)$

Таким образом, делитель равен:

$\frac{a^2}{a^6 - b^6} = \frac{a^2}{(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)}$

Выполним деление, заменив его на умножение на обратную дробь:

$\frac{a^2}{(a-b)(a+b)(a^2 - ab + b^2)} \cdot \frac{(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)}{a^2}$

Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе: $a^2$, $(a-b)$, $(a+b)$, $(a^2 - ab + b^2)$.

В результате получаем: $a^2 + ab + b^2$.

Ответ: $a^2 + ab + b^2$.

2) Выполним действия для выражения $\left(\frac{6a}{a^2 - 4b^2} + \frac{2}{2b-a} - \frac{4}{2b+a}\right) : \left(1 + \frac{a^2 + 4b^2}{4b^2 - a^2}\right)$.

Упростим выражение в первых скобках. Разложим знаменатель $a^2 - 4b^2 = (a-2b)(a+2b)$ и приведем знаки в других дробях к общему виду: $\frac{2}{2b-a} = -\frac{2}{a-2b}$ и $\frac{4}{2b+a} = \frac{4}{a+2b}$.

$\frac{6a}{(a-2b)(a+2b)} - \frac{2}{a-2b} - \frac{4}{a+2b}$

Приведем все дроби к общему знаменателю $(a-2b)(a+2b)$:

$\frac{6a - 2(a+2b) - 4(a-2b)}{(a-2b)(a+2b)} = \frac{6a - 2a - 4b - 4a + 8b}{a^2 - 4b^2} = \frac{4b}{a^2 - 4b^2}$

Теперь упростим выражение во вторых скобках. Заметим, что $4b^2 - a^2 = -(a^2 - 4b^2)$.

$1 + \frac{a^2 + 4b^2}{4b^2 - a^2} = 1 - \frac{a^2 + 4b^2}{a^2 - 4b^2} = \frac{a^2 - 4b^2 - (a^2 + 4b^2)}{a^2 - 4b^2} = \frac{a^2 - 4b^2 - a^2 - 4b^2}{a^2 - 4b^2} = \frac{-8b^2}{a^2 - 4b^2}$

Выполним деление:

$\frac{4b}{a^2 - 4b^2} : \frac{-8b^2}{a^2 - 4b^2} = \frac{4b}{a^2 - 4b^2} \cdot \frac{a^2 - 4b^2}{-8b^2}$

Сокращаем $(a^2 - 4b^2)$ и упрощаем оставшееся выражение:

$\frac{4b}{-8b^2} = -\frac{1}{2b}$

Ответ: $-\frac{1}{2b}$.

3) Выполним действия для выражения $\left(\frac{y}{x^3 - x^2y + xy^2} + \frac{x-2y}{x^3+y^3}\right) \cdot \frac{x^3 - xy^2}{x^2+y^2} + \frac{2y^2}{x^3+x^2y+xy^2+y^3}$.

Решим по действиям. Сначала выполним сложение в скобках. Разложим знаменатели на множители:

$x^3 - x^2y + xy^2 = x(x^2 - xy + y^2)$

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$

$\frac{y}{x(x^2 - xy + y^2)} + \frac{x-2y}{(x+y)(x^2 - xy + y^2)}$

Приводим к общему знаменателю $x(x+y)(x^2 - xy + y^2)$:

$\frac{y(x+y) + x(x-2y)}{x(x+y)(x^2 - xy + y^2)} = \frac{xy+y^2+x^2-2xy}{x(x+y)(x^2 - xy + y^2)} = \frac{x^2 - xy + y^2}{x(x+y)(x^2 - xy + y^2)} = \frac{1}{x(x+y)}$

Теперь выполним умножение. Преобразуем второй множитель:

$\frac{x^3 - xy^2}{x^2+y^2} = \frac{x(x^2 - y^2)}{x^2+y^2} = \frac{x(x-y)(x+y)}{x^2+y^2}$

$\frac{1}{x(x+y)} \cdot \frac{x(x-y)(x+y)}{x^2+y^2} = \frac{x-y}{x^2+y^2}$

Осталось выполнить сложение. Преобразуем знаменатель последней дроби, сгруппировав слагаемые:

$x^3+x^2y+xy^2+y^3 = x^2(x+y) + y^2(x+y) = (x^2+y^2)(x+y)$

Складываем полученные результаты:

$\frac{x-y}{x^2+y^2} + \frac{2y^2}{(x^2+y^2)(x+y)}$

Приводим к общему знаменателю $(x^2+y^2)(x+y)$:

$\frac{(x-y)(x+y) + 2y^2}{(x^2+y^2)(x+y)} = \frac{x^2 - y^2 + 2y^2}{(x^2+y^2)(x+y)} = \frac{x^2 + y^2}{(x^2+y^2)(x+y)}$

Сокращаем дробь на $(x^2+y^2)$:

$\frac{1}{x+y}$

Ответ: $\frac{1}{x+y}$.