Номер 23, страница 16 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

23. Автобус, выехавший из посёлка в город в 8 ч со скоростью 60 км/ч, на полпути встретился с выехавшим в 8 ч 20 мин из города в посёлок автомобилем, скорость которого 80 км/ч. Найти расстояние между посёлком и городом.

Для решения задачи введем следующие обозначения: $S$ - искомое расстояние между посёлком и городом (в км); $v_1 = 60$ км/ч - скорость автобуса; $v_2 = 80$ км/ч - скорость автомобиля; $t_1$ - время движения автобуса до встречи (в часах); $t_2$ - время движения автомобиля до встречи (в часах).

Согласно условию, встреча произошла «на полпути». Это означает, что к моменту встречи и автобус, и автомобиль проехали одинаковое расстояние, равное половине всего пути, то есть $S/2$.

Запишем уравнения для расстояний, пройденных автобусом и автомобилем, используя формулу $S = v \cdot t$:
Расстояние, пройденное автобусом: $S/2 = v_1 \cdot t_1 = 60 \cdot t_1$.
Расстояние, пройденное автомобилем: $S/2 = v_2 \cdot t_2 = 80 \cdot t_2$.

Так как левые части этих равенств одинаковы ($S/2$), то можем приравнять и их правые части:
$60 \cdot t_1 = 80 \cdot t_2$.

Автобус выехал в 8 ч 00 мин, а автомобиль — в 8 ч 20 мин. Следовательно, автобус находился в пути на 20 минут дольше, чем автомобиль. Переведем 20 минут в часы: $20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$.
Таким образом, можно записать соотношение между временами движения: $t_1 = t_2 + \frac{1}{3}$.

Теперь подставим это выражение для $t_1$ в ранее полученное уравнение $60 \cdot t_1 = 80 \cdot t_2$:
$60 \cdot (t_2 + \frac{1}{3}) = 80 \cdot t_2$.
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $t_2$:
$60 \cdot t_2 + 60 \cdot \frac{1}{3} = 80 \cdot t_2$
$60 \cdot t_2 + 20 = 80 \cdot t_2$
$20 = 80 \cdot t_2 - 60 \cdot t_2$
$20 = 20 \cdot t_2$
$t_2 = \frac{20}{20} = 1$ час.

Мы нашли, что автомобиль был в пути 1 час. Теперь можно найти половину расстояния, которую он проехал за это время:
$S/2 = v_2 \cdot t_2 = 80 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 80 \text{ км}$.

Поскольку 80 км — это половина пути, то полное расстояние $S$ между посёлком и городом равно:
$S = 2 \cdot 80 = 160 \text{ км}$.

Проверка:
Время движения автобуса: $t_1 = t_2 + \frac{1}{3} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ часа.
Расстояние, пройденное автобусом: $S_1 = v_1 \cdot t_1 = 60 \text{ км/ч} \cdot \frac{4}{3} \text{ ч} = \frac{240}{3} = 80$ км.
Расстояния, пройденные автобусом и автомобилем, равны (80 км), что подтверждает условие встречи на полпути. Общее расстояние 160 км. Решение верное.

Ответ: 160 км.