Номер 22, страница 16 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

22. От пристани А до пристани В катер плывёт по реке 15 мин, а обратно – 20 мин. Найти скорость течения реки, если собственная скорость катера 14 км/ч.

Пусть $v_т$ — искомая скорость течения реки в км/ч. Собственная скорость катера по условию равна $v_к = 14$ км/ч.

Катер плывет от пристани А до пристани В за $t_1 = 15$ минут, а обратно — за $t_2 = 20$ минут. Так как время в пути от А до В меньше, чем обратно ($t_1 < t_2$), то движение от А до В происходит по течению реки, а от В до А — против течения.

Скорость катера по течению составляет сумму его собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = v_к + v_т = 14 + v_т$ км/ч.
Скорость катера против течения составляет разность его собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = v_к - v_т = 14 - v_т$ км/ч.

Переведем время из минут в часы, чтобы все единицы измерения были согласованы, так как скорость дана в км/ч:
$t_1 = 15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч}$
$t_2 = 20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$

Расстояние $S$ между пристанями А и В постоянно. Его можно выразить через скорость и время для движения в обоих направлениях, используя формулу $S = v \cdot t$:
$S = v_{по} \cdot t_1 = (14 + v_т) \cdot \frac{1}{4}$
$S = v_{против} \cdot t_2 = (14 - v_т) \cdot \frac{1}{3}$

Поскольку расстояние в обе стороны одинаковое, приравняем полученные выражения для $S$:
$(14 + v_т) \cdot \frac{1}{4} = (14 - v_т) \cdot \frac{1}{3}$

Решим это уравнение относительно $v_т$. Для начала умножим обе части на 12 (наименьшее общее кратное чисел 4 и 3), чтобы избавиться от дробей:
$12 \cdot \frac{14 + v_т}{4} = 12 \cdot \frac{14 - v_т}{3}$
$3 \cdot (14 + v_т) = 4 \cdot (14 - v_т)$

Теперь раскроем скобки:
$42 + 3v_т = 56 - 4v_т$

Перенесем слагаемые, содержащие $v_т$, в левую часть уравнения, а постоянные — в правую:
$3v_т + 4v_т = 56 - 42$
$7v_т = 14$

Отсюда находим скорость течения:
$v_т = \frac{14}{7} = 2$

Таким образом, скорость течения реки равна 2 км/ч.

Ответ: 2 км/ч.