Номер 17, страница 11 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

17. Найти произведение многочленов:

1) $(8x - y^2)(3x + y^2)$;

2) $(2m^2n - 5mn^2)(3mn^2 - 4m^2n)$;

3) $(5xy^2 - 2x^2y)(2x^2y + 5xy^2)$;

4) $(\frac{1}{2}a^3 + b^2)(b^2 - \frac{1}{2}a^3)$;

5) $(a^6 - a^3b^3 + b^6)(a^3 + b^3)$;

6) $(9m^4 + 3m^2n^2 + n^4)(3m^2 - n^2)$.

1) Чтобы найти произведение многочленов, умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго (правило "фонтанчика" или раскрытие скобок): $(8x - y^2)(3x + y^2) = 8x \cdot 3x + 8x \cdot y^2 - y^2 \cdot 3x - y^2 \cdot y^2 = 24x^2 + 8xy^2 - 3xy^2 - y^4$. Далее приведем подобные слагаемые $8xy^2$ и $-3xy^2$: $8xy^2 - 3xy^2 = 5xy^2$. В результате получаем многочлен: $24x^2 + 5xy^2 - y^4$.
Ответ: $24x^2 + 5xy^2 - y^4$.

2) Умножим многочлены $(2m^2n - 5mn^2)$ и $(3mn^2 - 4m^2n)$ покомпонентно: $(2m^2n - 5mn^2)(3mn^2 - 4m^2n) = 2m^2n \cdot 3mn^2 + 2m^2n \cdot (-4m^2n) - 5mn^2 \cdot 3mn^2 - 5mn^2 \cdot (-4m^2n)$ $= 6m^3n^3 - 8m^4n^2 - 15m^2n^4 + 20m^3n^3$. Приведем подобные слагаемые $6m^3n^3$ и $20m^3n^3$: $6m^3n^3 + 20m^3n^3 = 26m^3n^3$. Запишем итоговый многочлен, для удобства упорядочив члены по убыванию степени переменной $m$: $-8m^4n^2 + 26m^3n^3 - 15m^2n^4$.
Ответ: $-8m^4n^2 + 26m^3n^3 - 15m^2n^4$.

3) В выражении $(5xy^2 - 2x^2y)(2x^2y + 5xy^2)$ поменяем слагаемые во второй скобке местами, чтобы увидеть знакомую структуру: $(5xy^2 - 2x^2y)(5xy^2 + 2x^2y)$. Это произведение соответствует формуле сокращенного умножения "разность квадратов": $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = 5xy^2$ и $b = 2x^2y$. Применим формулу: $(5xy^2)^2 - (2x^2y)^2 = 5^2x^2(y^2)^2 - 2^2(x^2)^2y^2 = 25x^2y^4 - 4x^4y^2$.
Ответ: $25x^2y^4 - 4x^4y^2$.

4) Преобразуем выражение $(\frac{1}{2}a^3 + b^2)(b^2 - \frac{1}{2}a^3)$, поменяв слагаемые в первой скобке местами: $(b^2 + \frac{1}{2}a^3)(b^2 - \frac{1}{2}a^3)$. Мы получили формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, где $x = b^2$ и $y = \frac{1}{2}a^3$. Применим формулу: $(b^2)^2 - (\frac{1}{2}a^3)^2 = b^4 - (\frac{1}{2})^2(a^3)^2 = b^4 - \frac{1}{4}a^6$.
Ответ: $b^4 - \frac{1}{4}a^6$.

5) Выражение $(a^6 - a^3b^3 + b^6)(a^3 + b^3)$ соответствует формуле сокращенного умножения "сумма кубов": $(x^2 - xy + y^2)(x + y) = x^3 + y^3$. В нашем случае $x=a^3$ и $y=b^3$. Проверим соответствие: $x^2 = (a^3)^2 = a^6$, $y^2 = (b^3)^2 = b^6$ и $xy = a^3b^3$. Все сходится. Применяя формулу, получаем: $(a^3)^3 + (b^3)^3 = a^9 + b^9$.
Ответ: $a^9 + b^9$.

6) Рассмотрим выражение $(9m^4 + 3m^2n^2 + n^4)(3m^2 - n^2)$. Для наглядности переставим множители: $(3m^2 - n^2)(9m^4 + 3m^2n^2 + n^4)$. Это выражение соответствует формуле "разность кубов": $(x - y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3$. Здесь $x = 3m^2$ и $y = n^2$. Проверим: $x^2 = (3m^2)^2 = 9m^4$, $y^2 = (n^2)^2 = n^4$ и $xy = (3m^2)(n^2) = 3m^2n^2$. Применяя формулу, получаем: $(3m^2)^3 - (n^2)^3 = 27m^6 - n^6$.
Ответ: $27m^6 - n^6$.