Номер 53, страница 22 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

53. Решить систему неравенств:

1) $ \begin{cases} 2x - 3 > 0, \\ 5 - x > 0; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 0,2 + x \le 0, \\ -5x + 2 < 0; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} \frac{1}{4}x + 1 > 0, \\ 2 - \frac{1}{3}x \le 0; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} 1,4x + 7 \le 0, \\ 0,3 - 2x \ge 0. \end{cases} $

1) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 2x - 3 > 0 \\ 5 - x > 0 \end{cases} $

Решаем каждое неравенство отдельно.

Первое неравенство:
$2x - 3 > 0$
$2x > 3$
$x > \frac{3}{2}$
$x > 1,5$

Второе неравенство:
$5 - x > 0$
$-x > -5$
$x < 5$

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x > 1,5$ и $x < 5$. Это означает, что $x$ должен быть одновременно больше 1,5 и меньше 5. Таким образом, решением системы является интервал $(1,5; 5)$.

Ответ: $(1,5; 5)$

2) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 0,2 + x \le 0 \\ -5x + 2 < 0 \end{cases} $

Решаем каждое неравенство отдельно.

Первое неравенство:
$0,2 + x \le 0$
$x \le -0,2$

Второе неравенство:
$-5x + 2 < 0$
$-5x < -2$
$x > \frac{-2}{-5}$ (делим на отрицательное число, поэтому знак неравенства меняется)
$x > \frac{2}{5}$
$x > 0,4$

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x \le -0,2$ и $x > 0,4$. Не существует числа, которое одновременно меньше или равно -0,2 и больше 0,4. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: нет решений

3) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{1}{4}x + 1 > 0 \\ 2 - \frac{1}{3}x \le 0 \end{cases} $

Решаем каждое неравенство отдельно.

Первое неравенство:
$\frac{1}{4}x + 1 > 0$
$\frac{1}{4}x > -1$
$x > -4$

Второе неравенство:
$2 - \frac{1}{3}x \le 0$
$-\frac{1}{3}x \le -2$
$x \ge (-2) \cdot (-3)$ (умножаем на отрицательное число, поэтому знак неравенства меняется)
$x \ge 6$

Найдем пересечение решений: $x > -4$ и $x \ge 6$. Общим решением для этих двух условий является $x \ge 6$. Таким образом, решением системы является промежуток $[6; +\infty)$.

Ответ: $[6; +\infty)$

4) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 1,4x + 7 \le 0 \\ 0,3 - 2x \ge 0 \end{cases} $

Решаем каждое неравенство отдельно.

Первое неравенство:
$1,4x + 7 \le 0$
$1,4x \le -7$
$x \le \frac{-7}{1,4}$
$x \le -5$

Второе неравенство:
$0,3 - 2x \ge 0$
$-2x \ge -0,3$
$x \le \frac{-0,3}{-2}$ (делим на отрицательное число, поэтому знак неравенства меняется)
$x \le 0,15$

Найдем пересечение решений: $x \le -5$ и $x \le 0,15$. Если число меньше или равно -5, оно автоматически меньше или равно 0,15. Следовательно, пересечением этих условий является $x \le -5$. Таким образом, решением системы является промежуток $(-\infty; -5]$.

Ответ: $(-\infty; -5]$