Номер 95, страница 33 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

95. Упростить:

1) $7\sqrt{28} - \sqrt{80} - 2\sqrt{63} + 3\sqrt{45}$;

2) $2\sqrt{\frac{1}{6}} - \sqrt{\frac{2}{3}} + 3\sqrt{\frac{1}{15}} + 4\sqrt{\frac{3}{5}}$;

3) $(\sqrt{18} - 3\sqrt{2})^2$;

4) $(1 - \sqrt{3})^2(1 + \sqrt{3})$;

5) $\frac{3}{\sqrt{5} - \sqrt{6}} - \frac{4}{\sqrt{5} + \sqrt{6}};

6) $\frac{2}{1 + \sqrt{3}} + \frac{3}{3 - \sqrt{5}}$.

1) $7\sqrt{28} - \sqrt{80} - 2\sqrt{63} + 3\sqrt{45}$

Для упрощения выражения необходимо вынести множители из-под знака корня в каждом слагаемом. Для этого разложим подкоренные выражения на множители так, чтобы один из множителей был полным квадратом.

$\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{2^2 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$

$\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{4^2 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$

$\sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = \sqrt{3^2 \cdot 7} = 3\sqrt{7}$

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$

Теперь подставим упрощенные значения обратно в исходное выражение:

$7 \cdot (2\sqrt{7}) - 4\sqrt{5} - 2 \cdot (3\sqrt{7}) + 3 \cdot (3\sqrt{5}) = 14\sqrt{7} - 4\sqrt{5} - 6\sqrt{7} + 9\sqrt{5}$

Сгруппируем подобные слагаемые (слагаемые с одинаковыми корнями) и выполним действия:

$(14\sqrt{7} - 6\sqrt{7}) + (-4\sqrt{5} + 9\sqrt{5}) = 8\sqrt{7} + 5\sqrt{5}$

Ответ: $8\sqrt{7} + 5\sqrt{5}$

2) $2\sqrt{\frac{1}{6}} - \sqrt{\frac{2}{3}} + 3\sqrt{\frac{1}{15}} + 4\sqrt{\frac{3}{5}}$

Упростим каждый член выражения, используя свойство корня $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ и избавляясь от иррациональности в знаменателе.

$2\sqrt{\frac{1}{6}} = 2\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$3\sqrt{\frac{1}{15}} = 3\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{15}} = \frac{3}{\sqrt{15}} = \frac{3\sqrt{15}}{\sqrt{15}\cdot\sqrt{15}} = \frac{3\sqrt{15}}{15} = \frac{\sqrt{15}}{5}$

$4\sqrt{\frac{3}{5}} = 4\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{15}}{5}$

Подставим упрощенные значения в выражение:

$\frac{\sqrt{6}}{3} - \frac{\sqrt{6}}{3} + \frac{\sqrt{15}}{5} + \frac{4\sqrt{15}}{5}$

Приведем подобные слагаемые:

$(\frac{\sqrt{6}}{3} - \frac{\sqrt{6}}{3}) + (\frac{\sqrt{15}}{5} + \frac{4\sqrt{15}}{5}) = 0 + \frac{5\sqrt{15}}{5} = \sqrt{15}$

Ответ: $\sqrt{15}$

3) $(\sqrt{18} - 3\sqrt{2})^2$

Сначала упростим выражение в скобках. Вынесем множитель из-под знака корня:

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$

Подставим это в исходное выражение:

$(3\sqrt{2} - 3\sqrt{2})^2 = (0)^2 = 0$

Альтернативный способ — использовать формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(\sqrt{18})^2 - 2 \cdot \sqrt{18} \cdot 3\sqrt{2} + (3\sqrt{2})^2 = 18 - 6\sqrt{18 \cdot 2} + 9 \cdot 2 = 18 - 6\sqrt{36} + 18 = 18 - 6 \cdot 6 + 18 = 18 - 36 + 18 = 0$

Ответ: $0$

4) $(1 - \sqrt{3})^2(1 + \sqrt{3})$

Распишем квадрат первого множителя:

$(1 - \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})$

Сгруппируем второй и третий множители и применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(1 - \sqrt{3}) \cdot [(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})] = (1 - \sqrt{3}) \cdot [1^2 - (\sqrt{3})^2] = (1 - \sqrt{3}) \cdot (1 - 3) = (1 - \sqrt{3}) \cdot (-2)$

Раскроем скобки:

$-2(1) -2(-\sqrt{3}) = -2 + 2\sqrt{3}$

Ответ: $-2 + 2\sqrt{3}$

5) $\frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{6}} - \frac{4}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен $(\sqrt{5}-\sqrt{6})(\sqrt{5}+\sqrt{6})$.

$\frac{3(\sqrt{5}+\sqrt{6})}{(\sqrt{5}-\sqrt{6})(\sqrt{5}+\sqrt{6})} - \frac{4(\sqrt{5}-\sqrt{6})}{(\sqrt{5}-\sqrt{6})(\sqrt{5}+\sqrt{6})}$

Знаменатель является разностью квадратов: $(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{6})^2 = 5 - 6 = -1$.

Теперь упростим числитель:

$3(\sqrt{5}+\sqrt{6}) - 4(\sqrt{5}-\sqrt{6}) = 3\sqrt{5} + 3\sqrt{6} - 4\sqrt{5} + 4\sqrt{6}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$(3\sqrt{5} - 4\sqrt{5}) + (3\sqrt{6} + 4\sqrt{6}) = -\sqrt{5} + 7\sqrt{6}$

Объединим числитель и знаменатель:

$\frac{-\sqrt{5} + 7\sqrt{6}}{-1} = -(-\sqrt{5} + 7\sqrt{6}) = \sqrt{5} - 7\sqrt{6}$

Ответ: $\sqrt{5} - 7\sqrt{6}$

6) $\frac{2}{1+\sqrt{3}} + \frac{3}{3-\sqrt{5}}$

Упростим каждую дробь отдельно, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на выражение, сопряженное ее знаменателю.

Для первой дроби сопряженное выражение к $1+\sqrt{3}$ это $1-\sqrt{3}$:

$\frac{2}{1+\sqrt{3}} = \frac{2(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = \frac{2(1-\sqrt{3})}{1^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2(1-\sqrt{3})}{1-3} = \frac{2(1-\sqrt{3})}{-2} = -(1-\sqrt{3}) = -1 + \sqrt{3}$

Для второй дроби сопряженное выражение к $3-\sqrt{5}$ это $3+\sqrt{5}$:

$\frac{3}{3-\sqrt{5}} = \frac{3(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})} = \frac{3(3+\sqrt{5})}{3^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{3(3+\sqrt{5})}{9-5} = \frac{3(3+\sqrt{5})}{4} = \frac{9+3\sqrt{5}}{4}$

Теперь сложим полученные выражения:

$(-1 + \sqrt{3}) + \frac{9+3\sqrt{5}}{4}$

Приведем к общему знаменателю 4:

$\frac{4(-1+\sqrt{3})}{4} + \frac{9+3\sqrt{5}}{4} = \frac{-4+4\sqrt{3} + 9+3\sqrt{5}}{4} = \frac{5+4\sqrt{3}+3\sqrt{5}}{4}$

Ответ: $\frac{5+4\sqrt{3}+3\sqrt{5}}{4}$