Номер 98, страница 33 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

98. Вынести множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{8a^5}$, если $a \ge 0;$

2) $\sqrt{\frac{2}{9}b^2}$, если $b \le 0;$

3) $\sqrt{27a^3b^3}$, если $a < 0, b < 0;$

4) $\sqrt{0,32a^2b^3}$, если $a < 0, b > 0;$

5) $\sqrt{16a^3b^5}$, если $a < 0, b < 0;$

6) $\sqrt{\frac{1}{9}a^5b^6}$, если $a \ge 0, b \le 0.$

1) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{8a^5}$ при условии $a \ge 0$, разложим подкоренное выражение на множители таким образом, чтобы из них можно было извлечь полный квадратный корень.
Разложим число 8 и степень $a^5$:
$8 = 4 \cdot 2 = 2^2 \cdot 2$
$a^5 = a^4 \cdot a = (a^2)^2 \cdot a$
Теперь подставим это в исходное выражение:
$\sqrt{8a^5} = \sqrt{4 \cdot 2 \cdot a^4 \cdot a} = \sqrt{(4a^4) \cdot (2a)} = \sqrt{(2a^2)^2 \cdot 2a}$
Используя свойство корня $\sqrt{x^2 \cdot y} = |x|\sqrt{y}$, получаем:
$\sqrt{(2a^2)^2 \cdot 2a} = |2a^2|\sqrt{2a}$
Согласно условию, $a \ge 0$. Это означает, что $a^2 \ge 0$, и следовательно, выражение $2a^2$ также неотрицательно ($2a^2 \ge 0$). Модуль неотрицательного числа равен самому числу, поэтому $|2a^2| = 2a^2$.
Окончательный результат: $2a^2\sqrt{2a}$.
Ответ: $2a^2\sqrt{2a}$

2) Рассмотрим выражение $\sqrt{\frac{2}{9}b^2}$ при условии $b \le 0$.
Представим подкоренное выражение в виде произведения, выделив полный квадрат:
$\sqrt{\frac{2}{9}b^2} = \sqrt{\frac{b^2}{9} \cdot 2} = \sqrt{(\frac{b}{3})^2 \cdot 2}$
Применим свойство $\sqrt{x^2 \cdot y} = |x|\sqrt{y}$:
$\sqrt{(\frac{b}{3})^2 \cdot 2} = |\frac{b}{3}|\sqrt{2}$
По условию $b \le 0$. Следовательно, выражение $\frac{b}{3}$ также неположительно ($\frac{b}{3} \le 0$). Модуль неположительного числа равен противоположному ему числу: $|\frac{b}{3}| = -\frac{b}{3}$.
Подставляем полученное значение модуля в выражение: $-\frac{b}{3}\sqrt{2}$.
Ответ: $-\frac{b}{3}\sqrt{2}$

3) Упростим выражение $\sqrt{27a^3b^3}$ при условиях $a < 0, b < 0$.
Во-первых, убедимся, что подкоренное выражение имеет смысл (неотрицательно). Так как $a < 0$, то $a^3 < 0$. Так как $b < 0$, то $b^3 < 0$. Произведение двух отрицательных чисел $a^3b^3$ положительно, поэтому корень извлекать можно.
Разложим подкоренное выражение на множители:
$27 = 9 \cdot 3 = 3^2 \cdot 3$
$a^3 = a^2 \cdot a$
$b^3 = b^2 \cdot b$
$\sqrt{27a^3b^3} = \sqrt{9 \cdot 3 \cdot a^2 \cdot a \cdot b^2 \cdot b} = \sqrt{(9a^2b^2) \cdot (3ab)} = \sqrt{(3ab)^2 \cdot 3ab}$
Выносим множитель из-под знака корня:
$\sqrt{(3ab)^2 \cdot 3ab} = |3ab|\sqrt{3ab}$
Теперь определим знак выражения $3ab$. По условию $a < 0$ и $b < 0$, их произведение $ab$ положительно. Следовательно, $3ab > 0$.
Поскольку выражение $3ab$ положительно, его модуль равен самому выражению: $|3ab| = 3ab$.
Окончательный результат: $3ab\sqrt{3ab}$.
Ответ: $3ab\sqrt{3ab}$

4) Вынесем множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{0.32a^2b^3}$ при условиях $a < 0, b > 0$.
Проверим знак подкоренного выражения: $a^2 > 0$ (так как $a \ne 0$), $b^3 > 0$ (так как $b > 0$). Их произведение и все выражение положительны.
Разложим на множители:
$0.32 = 0.16 \cdot 2 = (0.4)^2 \cdot 2$
$b^3 = b^2 \cdot b$
$\sqrt{0.32a^2b^3} = \sqrt{0.16 \cdot 2 \cdot a^2 \cdot b^2 \cdot b} = \sqrt{(0.16a^2b^2) \cdot (2b)} = \sqrt{(0.4ab)^2 \cdot 2b}$
Выносим множитель:
$\sqrt{(0.4ab)^2 \cdot 2b} = |0.4ab|\sqrt{2b}$
Определим знак выражения $0.4ab$. По условию $a < 0$ и $b > 0$, их произведение $ab$ отрицательно. Следовательно, $0.4ab < 0$.
Модуль отрицательного числа равен противоположному числу: $|0.4ab| = -0.4ab$.
Результат: $-0.4ab\sqrt{2b}$.
Ответ: $-0.4ab\sqrt{2b}$

5) Упростим $\sqrt{16a^3b^5}$ при $a < 0, b < 0$.
Проверим знак подкоренного выражения: так как $a < 0$, то $a^3 < 0$. Так как $b < 0$, то $b^5 < 0$. Произведение $a^3b^5$ будет положительным.
Разложим на множители:
$16 = 4^2$
$a^3 = a^2 \cdot a$
$b^5 = b^4 \cdot b = (b^2)^2 \cdot b$
$\sqrt{16a^3b^5} = \sqrt{16 \cdot a^2 \cdot a \cdot b^4 \cdot b} = \sqrt{(16a^2b^4) \cdot (ab)} = \sqrt{(4ab^2)^2 \cdot ab}$
Выносим множитель из-под корня:
$\sqrt{(4ab^2)^2 \cdot ab} = |4ab^2|\sqrt{ab}$
Определим знак выражения $4ab^2$. По условию $a < 0$ и $b < 0$. Тогда $b^2 > 0$. Произведение отрицательного числа $a$ и положительного $b^2$ дает отрицательный результат: $ab^2 < 0$. Следовательно, $4ab^2 < 0$.
Модуль отрицательного выражения равен противоположному ему выражению: $|4ab^2| = -4ab^2$.
Окончательный вид: $-4ab^2\sqrt{ab}$. (Заметим, что под корнем остается $ab$, которое положительно, так как $a<0, b<0$).
Ответ: $-4ab^2\sqrt{ab}$

6) Вынесем множитель из-под знака корня в $\sqrt{\frac{1}{9}a^5b^6}$ при $a \ge 0, b \le 0$.
Проверим знак подкоренного выражения: $a^5 \ge 0$ (так как $a \ge 0$) и $b^6 \ge 0$ (четная степень любого ненулевого числа положительна, а для нуля - ноль). Произведение неотрицательно.
Разложим на множители:
$\frac{1}{9} = (\frac{1}{3})^2$
$a^5 = a^4 \cdot a = (a^2)^2 \cdot a$
$b^6 = (b^3)^2$
$\sqrt{\frac{1}{9}a^5b^6} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot a^4 \cdot b^6 \cdot a} = \sqrt{(\frac{1}{3}a^2b^3)^2 \cdot a}$
Выносим множитель:
$\sqrt{(\frac{1}{3}a^2b^3)^2 \cdot a} = |\frac{1}{3}a^2b^3|\sqrt{a}$
Определим знак выражения $\frac{1}{3}a^2b^3$. По условию $a \ge 0$ и $b \le 0$. Тогда $a^2 \ge 0$. Так как $b \le 0$, то нечетная степень $b^3 \le 0$. Произведение неотрицательного $a^2$ и неположительного $b^3$ будет неположительным: $a^2b^3 \le 0$. Следовательно, $\frac{1}{3}a^2b^3 \le 0$.
Модуль неположительного выражения равен противоположному ему: $|\frac{1}{3}a^2b^3| = -\frac{1}{3}a^2b^3$.
Итоговый результат: $-\frac{1}{3}a^2b^3\sqrt{a}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}a^2b^3\sqrt{a}$