Номер 103, страница 34 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

103. Доказать, что высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, не больше половины гипотенузы.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся геометрическим подходом.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $\angle C$ – прямой. Сторона $AB$ является гипотенузой, а $AC$ и $BC$ – катетами. Обозначим длину гипотенузы $AB$ как $c$.

Проведём из вершины прямого угла $C$ на гипотенузу $AB$ высоту $CH$. По определению высоты, $CH \perp AB$. Обозначим длину этой высоты как $h_c$. Нам нужно доказать, что $h_c \le \frac{c}{2}$.

Теперь проведём из той же вершины $C$ медиану $CM$ к гипотенузе $AB$. По определению медианы, точка $M$ является серединой гипотенузы $AB$.

Существует важное свойство прямоугольного треугольника: медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Это следует из того, что середина гипотенузы является центром описанной около треугольника окружности, а медиана к ней – радиусом этой окружности.

Таким образом, длина медианы $CM$ равна: $CM = \frac{1}{2}AB = \frac{c}{2}$

Рассмотрим отрезки $CH$ (высота) и $CM$ (медиана), проведённые из одной вершины $C$ к одной стороне $AB$. Эти отрезки образуют прямоугольный треугольник $CHM$, где $CM$ является гипотенузой, а $CH$ – катетом (поскольку $CH$ – это перпендикуляр, а $CM$ – наклонная, проведённая из той же точки $C$ к той же прямой $AB$).

В любом прямоугольном треугольнике (в нашем случае $\triangle CHM$) длина катета не может превышать длину гипотенузы. Следовательно: $CH \le CM$

Равенство $CH = CM$ достигается только в том случае, если точки $H$ и $M$ совпадают, то есть когда высота и медиана являются одним и тем же отрезком. Это происходит, когда исходный треугольник $ABC$ является равнобедренным ($AC=BC$).

Подставим в полученное неравенство $CH \le CM$ выражения для длин этих отрезков через $h_c$ и $c$: $h_c \le \frac{c}{2}$

Таким образом, утверждение доказано: высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, не больше половины гипотенузы.

Ответ: Что и требовалось доказать.