Номер 100, страница 34 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

100. Исключить иррациональность из знаменателя дроби:

1) $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$;

2) $\frac{4 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{6}}$;

3) $\frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$;

4) $\frac{\sqrt{11} + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - \sqrt{11}}$.

1) Чтобы исключить иррациональность из знаменателя дроби $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$, нужно умножить числитель и знаменатель этой дроби на $\sqrt{7}$.

$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{3 \cdot 7}}{(\sqrt{7})^2} = \frac{2\sqrt{21}}{7}$.

Знаменатель стал равен 7, то есть иррациональность исключена.

Ответ: $\frac{2\sqrt{21}}{7}$.

2) Чтобы исключить иррациональность из знаменателя дроби $\frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$.

$\frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{6}} = \frac{4\sqrt{5} \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{4\sqrt{5 \cdot 6}}{(\sqrt{6})^2} = \frac{4\sqrt{30}}{6}$.

Сократим полученную дробь на 2:

$\frac{4\sqrt{30}}{6} = \frac{2\sqrt{30}}{3}$.

Иррациональность в знаменателе устранена.

Ответ: $\frac{2\sqrt{30}}{3}$.

3) В знаменателе дроби $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$ находится разность $\sqrt{7}-\sqrt{5}$. Чтобы избавиться от иррациональности, нужно умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение, то есть на сумму $\sqrt{7}+\sqrt{5}$. При этом мы используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{7}+\sqrt{5}) \cdot (\sqrt{7}+\sqrt{5})}{(\sqrt{7}-\sqrt{5}) \cdot (\sqrt{7}+\sqrt{5})} = \frac{(\sqrt{7}+\sqrt{5})^2}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2}$.

Раскроем скобки в числителе по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и выполним вычисления в знаменателе:

$\frac{(\sqrt{7})^2 + 2\sqrt{7}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2}{7 - 5} = \frac{7 + 2\sqrt{35} + 5}{2} = \frac{12 + 2\sqrt{35}}{2}$.

Вынесем общий множитель 2 в числителе и сократим дробь:

$\frac{2(6 + \sqrt{35})}{2} = 6 + \sqrt{35}$.

Ответ: $6 + \sqrt{35}$.

4) Для дроби $\frac{\sqrt{11}+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{11}}$ знаменатель равен $\sqrt{3}-\sqrt{11}$. Сопряженным выражением является $\sqrt{3}+\sqrt{11}$. Умножим на него числитель и знаменатель дроби.

$\frac{\sqrt{11}+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{11}} = \frac{(\sqrt{11}+\sqrt{3}) \cdot (\sqrt{3}+\sqrt{11})}{(\sqrt{3}-\sqrt{11}) \cdot (\sqrt{3}+\sqrt{11})} = \frac{(\sqrt{11}+\sqrt{3})^2}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{11})^2}$.

Преобразуем числитель и знаменатель:

Числитель: $(\sqrt{11}+\sqrt{3})^2 = (\sqrt{11})^2 + 2\sqrt{11}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 11 + 2\sqrt{33} + 3 = 14 + 2\sqrt{33}$.

Знаменатель: $(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{11})^2 = 3 - 11 = -8$.

Получаем дробь:

$\frac{14 + 2\sqrt{33}}{-8}$.

Вынесем общий множитель 2 в числителе и сократим дробь:

$\frac{2(7 + \sqrt{33})}{-8} = \frac{7 + \sqrt{33}}{-4} = -\frac{7 + \sqrt{33}}{4}$.

Ответ: $-\frac{7 + \sqrt{33}}{4}$.