Номер 96, страница 33 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

96. Сравнить:

1) $2\sqrt{3}$ и $3\sqrt{2}$;

2) $5\sqrt{2}$ и $7$;

3) $2\sqrt{5}$ и $4\sqrt{3}$;

4) $3\sqrt{5}$ и $2\sqrt{7}$.

1) Чтобы сравнить числа $2\sqrt{3}$ и $3\sqrt{2}$, внесем множители, стоящие перед корнем, под знак корня. Для этого возведем множитель в квадрат и умножим на подкоренное выражение.
Для числа $2\sqrt{3}$ получаем: $2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$.
Для числа $3\sqrt{2}$ получаем: $3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$.
Теперь сравним полученные подкоренные выражения: $12 < 18$.
Поскольку чем больше положительное число, тем больше его квадратный корень, то из $12 < 18$ следует, что $\sqrt{12} < \sqrt{18}$.
Следовательно, $2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}$.
Ответ: $2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}$.

2) Чтобы сравнить числа $5\sqrt{2}$ и $7$, представим оба числа в виде квадратных корней.
Внесем множитель под знак корня для числа $5\sqrt{2}$: $5\sqrt{2} = \sqrt{5^2 \cdot 2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}$.
Представим число $7$ в виде корня: $7 = \sqrt{7^2} = \sqrt{49}$.
Сравним подкоренные выражения: $50 > 49$.
Так как $50 > 49$, то и $\sqrt{50} > \sqrt{49}$.
Следовательно, $5\sqrt{2} > 7$.
Ответ: $5\sqrt{2} > 7$.

3) Сравним числа $2\sqrt{5}$ и $4\sqrt{3}$, внеся множители под знак корня.
Для числа $2\sqrt{5}$ имеем: $2\sqrt{5} = \sqrt{2^2 \cdot 5} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20}$.
Для числа $4\sqrt{3}$ имеем: $4\sqrt{3} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}$.
Сравним подкоренные выражения: $20 < 48$.
Поскольку $20 < 48$, то $\sqrt{20} < \sqrt{48}$.
Следовательно, $2\sqrt{5} < 4\sqrt{3}$.
Ответ: $2\sqrt{5} < 4\sqrt{3}$.

4) Сравним числа $3\sqrt{5}$ и $2\sqrt{7}$, для этого внесем множители под знак корня.
Для первого числа $3\sqrt{5}$: $3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$.
Для второго числа $2\sqrt{7}$: $2\sqrt{7} = \sqrt{2^2 \cdot 7} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{28}$.
Сравним значения подкоренных выражений: $45 > 28$.
Так как $45 > 28$, то $\sqrt{45} > \sqrt{28}$.
Следовательно, $3\sqrt{5} > 2\sqrt{7}$.
Ответ: $3\sqrt{5} > 2\sqrt{7}$.