Номер 105, страница 34 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

105. Упростить:

1) $\sqrt{3-2\sqrt{2}}$;

2) $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$;

3) $\sqrt{7+2\sqrt{6}}$;

4) $\sqrt{11-2\sqrt{10}}$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}$ воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Мы хотим представить подкоренное выражение $3 - 2\sqrt{2}$ в виде полного квадрата.

Представим $3$ как сумму двух чисел, а $2\sqrt{2}$ как их удвоенное произведение. Пусть $a^2+b^2 = 3$ и $2ab = 2\sqrt{2}$, откуда $ab = \sqrt{2}$.

Методом подбора находим, что если взять $a = \sqrt{2}$ и $b = 1$, то условия выполняются:

$a^2 + b^2 = (\sqrt{2})^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3$.

$ab = \sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2}$.

Следовательно, подкоренное выражение можно записать так:

$3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{2} - 1)^2$.

Теперь извлечем корень:

$\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2} = |\sqrt{2} - 1|$.

Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $\sqrt{2} - 1 > 0$. Значит, $|\sqrt{2} - 1| = \sqrt{2} - 1$.

Ответ: $\sqrt{2} - 1$.

2) Упростим выражение $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$. Используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Ищем такие $a$ и $b$, что $a^2 + b^2 = 4$ и $2ab = 2\sqrt{3}$, то есть $ab = \sqrt{3}$.

Легко видеть, что подходят числа $a = \sqrt{3}$ и $b = 1$. Проверим:

$a^2 + b^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$.

$ab = \sqrt{3} \cdot 1 = \sqrt{3}$.

Условия выполняются. Запишем подкоренное выражение в виде полного квадрата:

$4 + 2\sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{3} + 1)^2$.

Извлекаем корень:

$\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} = |\sqrt{3} + 1|$.

Так как $\sqrt{3} + 1$ — положительное число, то $|\sqrt{3} + 1| = \sqrt{3} + 1$.

Ответ: $\sqrt{3} + 1$.

3) Упростим выражение $\sqrt{7 + 2\sqrt{6}}$. Снова используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Нам нужно найти $a$ и $b$ такие, что $a^2 + b^2 = 7$ и $2ab = 2\sqrt{6}$, откуда $ab = \sqrt{6}$.

В качестве $a$ и $b$ можно взять $\sqrt{6}$ и $1$. Проверим:

$a^2 + b^2 = (\sqrt{6})^2 + 1^2 = 6 + 1 = 7$.

$ab = \sqrt{6} \cdot 1 = \sqrt{6}$.

Условия верны. Следовательно, подкоренное выражение равно:

$7 + 2\sqrt{6} = (\sqrt{6})^2 + 2 \cdot \sqrt{6} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{6} + 1)^2$.

Тогда:

$\sqrt{7 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{6} + 1)^2} = |\sqrt{6} + 1| = \sqrt{6} + 1$.

Ответ: $\sqrt{6} + 1$.

4) Упростим выражение $\sqrt{11 - 2\sqrt{10}}$. Применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2 + b^2 = 11$ и $2ab = 2\sqrt{10}$, то есть $ab = \sqrt{10}$.

Подходят числа $a = \sqrt{10}$ и $b = 1$. Проверим:

$a^2 + b^2 = (\sqrt{10})^2 + 1^2 = 10 + 1 = 11$.

$ab = \sqrt{10} \cdot 1 = \sqrt{10}$.

Все верно. Запишем подкоренное выражение как полный квадрат:

$11 - 2\sqrt{10} = (\sqrt{10})^2 - 2 \cdot \sqrt{10} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{10} - 1)^2$.

Извлекаем корень:

$\sqrt{11 - 2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{10} - 1)^2} = |\sqrt{10} - 1|$.

Так как $\sqrt{10} > \sqrt{1}$, то $\sqrt{10} - 1 > 0$. Следовательно, $|\sqrt{10} - 1| = \sqrt{10} - 1$.

Ответ: $\sqrt{10} - 1$.