Номер 153, страница 48 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

153. 1) $x^2 - 12x + 36 < 0;$

2) $x^2 + x + \frac{1}{4} \le 0;$

3) $-x^2 + 3x - 4 \ge 0;$

4) $-x^2 - 5x - 7 < 0;$

5) $0,5x^2 + x - 4 < 0;$

6) $-2x^2 - 5x + 3 < 0.$

1) Решим неравенство $x^2 - 12x + 36 < 0$.

Левая часть неравенства является полным квадратом разности: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2 = (x-6)^2$.

Неравенство можно переписать в виде: $(x-6)^2 < 0$.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x-6)^2 \ge 0$ для любого $x$. Следовательно, неравенство $(x-6)^2 < 0$ не имеет решений.

Ответ: нет решений.

2) Решим неравенство $x^2 + x + \frac{1}{4} \le 0$.

Левая часть неравенства является полным квадратом суммы: $x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = (x+\frac{1}{2})^2$.

Неравенство можно переписать в виде: $(x+\frac{1}{2})^2 \le 0$.

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Неравенство выполняется только в том случае, когда левая часть равна нулю.

$(x+\frac{1}{2})^2 = 0 \implies x + \frac{1}{2} = 0 \implies x = -\frac{1}{2}$.

Ответ: -0,5.

3) Решим неравенство $-x^2 + 3x - 4 \ge 0$.

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак на противоположный: $x^2 - 3x + 4 \le 0$.

Рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y(x) = x^2 - 3x + 4$. Это парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1>0$).

Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$.

Так как $D < 0$ и ветви параболы направлены вверх, то вся парабола находится выше оси Ox. Это означает, что $x^2 - 3x + 4 > 0$ для любого $x$. Следовательно, неравенство $x^2 - 3x + 4 \le 0$ не имеет решений.

Ответ: нет решений.

4) Решим неравенство $-x^2 - 5x - 7 < 0$.

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак на противоположный: $x^2 + 5x + 7 > 0$.

Рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y(x) = x^2 + 5x + 7$. Это парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1>0$).

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3$.

Так как $D < 0$ и ветви параболы направлены вверх, то вся парабола находится выше оси Ox. Это означает, что $x^2 + 5x + 7 > 0$ для любого действительного значения $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

5) Решим неравенство $0,5x^2 + x - 4 < 0$.

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дробного коэффициента: $x^2 + 2x - 8 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 - 6}{2} = -4$; $x_2 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = 2$.

Парабола $y=x^2+2x-8$ имеет ветви, направленные вверх ($a=1>0$), и пересекает ось Ox в точках -4 и 2. Значения функции отрицательны между корнями.

Ответ: $(-4; 2)$.

6) Решим неравенство $-2x^2 - 5x + 3 < 0$.

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак на противоположный: $2x^2 + 5x - 3 > 0$.

Найдем корни уравнения $2x^2 + 5x - 3 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 7}{4} = -3$; $x_2 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$.

Парабола $y=2x^2+5x-3$ имеет ветви, направленные вверх ($a=2>0$), и пересекает ось Ox в точках -3 и 0,5. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Ответ: $(-\infty; -3) \cup (0,5; +\infty)$.