Номер 158, страница 49 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

158. Решить неравенство:

1) $\frac{(x - 4)\sqrt{x + 5}}{x + 2} > 0;$

2) $\frac{(x - 2)\sqrt{x + 5}}{(x - 3)\sqrt{x + 3}} \ge 0;$

3) $(x + 1)(x - 2)\sqrt{(3 - x)(x + 2)} > 0.$

1) $\frac{(x-4)\sqrt{x+5}}{x+2} > 0$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен равняться нулю:
$\begin{cases} x+5 \ge 0 \\ x+2 \ne 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -5 \\ x \ne -2 \end{cases}$.
ОДЗ: $x \in [-5, -2) \cup (-2, +\infty)$.

Поскольку неравенство строгое, множитель $\sqrt{x+5}$ должен быть строго больше нуля. Это означает, что $x+5 > 0$, то есть $x > -5$. При этом условии множитель $\sqrt{x+5}$ всегда положителен и не влияет на знак дроби. Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} \frac{x-4}{x+2} > 0 \\ x > -5 \end{cases}$

Решим первое неравенство $\frac{x-4}{x+2} > 0$ методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x=4$ и $x=-2$. Эти точки разбивают числовую ось на интервалы. Определим знак дроби на каждом интервале:
- при $x \in (4, +\infty)$ выражение положительно (+)
- при $x \in (-2, 4)$ выражение отрицательно (-)
- при $x \in (-\infty, -2)$ выражение положительно (+)

Решением неравенства $\frac{x-4}{x+2} > 0$ является $x \in (-\infty, -2) \cup (4, +\infty)$.

Учитывая второе условие системы $x > -5$, находим пересечение множеств: $x \in ((-\infty, -2) \cup (4, +\infty)) \cap (-5, +\infty)$.

В результате получаем $x \in (-5, -2) \cup (4, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-5, -2) \cup (4, +\infty)$.

2) $\frac{(x-2)\sqrt{x+5}}{(x-3)\sqrt{x+3}} \ge 0$

Найдем ОДЗ. Выражения под корнями должны быть неотрицательными, а знаменатель — не равен нулю.
$\begin{cases} x+5 \ge 0 \\ x+3 > 0 \\ x-3 \ne 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -5 \\ x > -3 \\ x \ne 3 \end{cases}$.
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \in (-3, 3) \cup (3, +\infty)$.

На ОДЗ оба корня, $\sqrt{x+5}$ и $\sqrt{x+3}$, существуют и строго положительны (так как $x > -3$ влечет $x+5 > 2$ и $x+3 > 0$). Следовательно, знак всего выражения совпадает со знаком дроби $\frac{x-2}{x-3}$. Исходное неравенство равносильно неравенству $\frac{x-2}{x-3} \ge 0$ на найденной ОДЗ.

Решим $\frac{x-2}{x-3} \ge 0$ методом интервалов. Корень числителя $x=2$ (входит в решение, так как неравенство нестрогое), корень знаменателя $x=3$ (не входит в решение).
- при $x \in (3, +\infty)$ выражение положительно (+)
- при $x \in [2, 3)$ выражение отрицательно (-)
- при $x \in (-\infty, 2]$ выражение положительно (+)

Решением неравенства $\frac{x-2}{x-3} \ge 0$ является $x \in (-\infty, 2] \cup (3, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение этого решения с ОДЗ: $x \in ((-\infty, 2] \cup (3, +\infty)) \cap ((-3, 3) \cup (3, +\infty))$.

Пересечение дает итоговый ответ: $x \in (-3, 2] \cup (3, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-3, 2] \cup (3, +\infty)$.

3) $(x+1)(x-2)\sqrt{(3-x)(x+2)} > 0$

Найдем ОДЗ: выражение под корнем должно быть неотрицательным.
$(3-x)(x+2) \ge 0$.
Корнями являются $x=3$ и $x=-2$. Это парабола с ветвями вниз, поэтому она неотрицательна между корнями.
ОДЗ: $x \in [-2, 3]$.

Так как неравенство строгое ($>0$), то и подкоренное выражение должно быть строго положительным: $(3-x)(x+2) > 0$, что выполняется при $x \in (-2, 3)$. На этом интервале множитель $\sqrt{(3-x)(x+2)}$ всегда положителен, и знак левой части неравенства определяется знаком выражения $(x+1)(x-2)$. Таким образом, задача сводится к решению системы:

$\begin{cases} (x+1)(x-2) > 0 \\ x \in (-2, 3) \end{cases}$

Решим первое неравенство $(x+1)(x-2) > 0$. Корни $x=-1$ и $x=2$. Это парабола с ветвями вверх, она положительна вне интервала между корнями.
Решение: $x \in (-\infty, -1) \cup (2, +\infty)$.

Найдем пересечение полученного множества с условием $x \in (-2, 3)$:
$x \in ((-\infty, -1) \cup (2, +\infty)) \cap (-2, 3)$.
Пересечение интервалов дает $x \in (-2, -1) \cup (2, 3)$.

Ответ: $x \in (-2, -1) \cup (2, 3)$.