Номер 145, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

145. Найти значения p и q квадратичной функции $y = x^2 + px + q$, используя её график: 1) на рисунке 26, а; 2) на рисунке 26, б; 3) на рисунке 26, в; 4) на рисунке 26, г.

а) б) в) г) Рис. 26

1) на рисунке 26, а
Для квадратичной функции вида $y = x^2 + px + q$ коэффициент $q$ равен ординате точки пересечения графика с осью $y$. Из графика а) видно, что парабола пересекает ось $y$ в точке $(0, 1)$, следовательно, $q = 1$.
Абсцисса вершины параболы $x_в$ связана с коэффициентом $p$ формулой $x_в = -p/2$. Из графика видно, что вершина параболы находится в точке $(1, 0)$, значит $x_в = 1$.
Подставим значение $x_в$ в формулу: $1 = -p/2$. Отсюда находим $p = -2$.
Таким образом, уравнение параболы имеет вид $y = x^2 - 2x + 1$, что можно записать как $y = (x-1)^2$. Вершина этой параболы действительно находится в точке $(1, 0)$, что полностью соответствует графику.
Ответ: $p = -2, q = 1$.

2) на рисунке 26, б
Из графика б) видно, что парабола пересекает ось $y$ в точке $(0, 4)$. Следовательно, $q = 4$.
Вершина параболы находится в точке $(-2, 0)$, значит, абсцисса вершины $x_в = -2$.
Используем формулу для абсциссы вершины: $x_в = -p/2$.
Подставляем известное значение $x_в$: $-2 = -p/2$. Отсюда находим, что $p = 4$.
Проверим: уравнение параболы $y = x^2 + 4x + 4$, или $y = (x+2)^2$. Вершина этой параболы находится в точке $(-2, 0)$, что соответствует графику.
Ответ: $p = 4, q = 4$.

3) на рисунке 26, в
График в) пересекает ось $y$ в точке $(0, 3)$, значит, $q = 3$.
Вершина параболы находится в точке с координатами $(-1, 2)$. Абсцисса вершины $x_в = -1$.
Из формулы $x_в = -p/2$ получаем: $-1 = -p/2$, откуда $p = 2$.
Проверим, подставив найденные значения $p$ и $q$ в уравнение функции и вычислив координаты вершины. Уравнение: $y = x^2 + 2x + 3$. Абсцисса вершины: $x_в = -2/2 = -1$. Ордината вершины: $y_в = (-1)^2 + 2(-1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$. Координаты вершины $(-1, 2)$ соответствуют изображению на графике.
Ответ: $p = 2, q = 3$.

4) на рисунке 26, г
Из графика г) видно, что парабола пересекает ось $y$ в точке $(0, -1)$, следовательно, $q = -1$.
Ордината вершины параболы, как видно из графика, равна $y_в = -2$. Координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$ связаны с коэффициентами уравнения. Подставим координаты вершины в уравнение функции: $y_в = x_в^2 + px_в + q$.
Также мы знаем, что $x_в = -p/2$. Подставим это в предыдущее равенство:
$y_в = (-p/2)^2 + p(-p/2) + q = p^2/4 - p^2/2 + q = -p^2/4 + q$.
Теперь подставим известные числовые значения $y_в = -2$ и $q = -1$:
$-2 = -p^2/4 - 1$
$-1 = -p^2/4$
$p^2 = 4$
Отсюда $p = 2$ или $p = -2$.
Чтобы выбрать правильное значение $p$, посмотрим на расположение вершины на графике. Вершина находится в левой полуплоскости, это означает, что её абсцисса $x_в$ отрицательна: $x_в < 0$.
Проверим оба варианта для $p$:
1. Если $p = 2$, то $x_в = -2/2 = -1$. Это значение $x_в < 0$, что соответствует графику.
2. Если $p = -2$, то $x_в = -(-2)/2 = 1$. Это значение $x_в > 0$, что не соответствует графику.
Следовательно, верное значение $p = 2$.
Ответ: $p = 2, q = -1$.