Номер 140, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

140. Найти наименьшее значение квадратичной функции:

1) $y = x^2 + 8;$

2) $y = 2x^2 - 3;$

3) $y = (x + 7)^2 - 5;$

4) $y = (x + 7)^2 + 4.$

1) $y = x^2 + 8$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля ($1 > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет наименьшее значение в своей вершине.

Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$ для любого действительного значения $x$. Наименьшее значение $x^2$ равно 0 и достигается при $x = 0$.

Следовательно, наименьшее значение функции $y$ будет достигаться, когда слагаемое $x^2$ принимает свое минимальное значение:

$y_{min} = 0 + 8 = 8$.

Это значение достигается при $x = 0$.

Ответ: 8

2) $y = 2x^2 - 3$

Это квадратичная функция, ветви параболы которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 2, а $2 > 0$. Функция имеет наименьшее значение в вершине.

Рассмотрим слагаемое $2x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то и $2x^2 \ge 0$. Наименьшее значение выражения $2x^2$ равно 0 и достигается при $x = 0$.

Таким образом, наименьшее значение функции $y$ равно:

$y_{min} = 2 \cdot 0 - 3 = -3$.

Это значение достигается при $x = 0$.

Ответ: -3

3) $y = (x + 7)^2 - 5$

Данная функция также является квадратичной. Ее график — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент перед скобкой в квадрате равен 1, что больше 0). Наименьшее значение функция принимает в своей вершине.

Выражение в скобках, возведенное в квадрат, $(x + 7)^2$, всегда неотрицательно: $(x + 7)^2 \ge 0$. Наименьшее значение этого выражения равно 0. Оно достигается, когда основание степени равно нулю:

$x + 7 = 0 \implies x = -7$.

Подставим минимальное значение квадрата в функцию, чтобы найти ее наименьшее значение:

$y_{min} = 0 - 5 = -5$.

Это значение достигается при $x = -7$.

Ответ: -5

4) $y = (x + 7)^2 + 4$

Это квадратичная функция, график — парабола с ветвями вверх (коэффициент равен 1, $1 > 0$). Наименьшее значение достигается в вершине параболы.

Выражение $(x + 7)^2$ является квадратом и, следовательно, всегда больше или равно нулю: $(x + 7)^2 \ge 0$. Его наименьшее значение равно 0 и достигается при $x + 7 = 0$, то есть при $x = -7$.

Тогда наименьшее значение всей функции будет:

$y_{min} = 0 + 4 = 4$.

Это значение достигается при $x = -7$.

Ответ: 4