Номер 136, страница 43 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

136. Найти координаты точек пересечения с осями координат параболы:

1) $y = 2x^2 + 5x + 3$;

2) $y = -3x^2 - x + 10.

$y = |x^2 - 5x + 4|$

Рис. 24

$y = x^2 - 5|x| + 6$

Рис. 25

1) $y = 2x^2 + 5x + 3$

Для нахождения координат точек пересечения графика функции с осями координат необходимо рассмотреть два случая.

Пересечение с осью ординат (осью y):

Точка пересечения с осью y имеет абсциссу $x = 0$. Подставим это значение в уравнение параболы:

$y = 2(0)^2 + 5(0) + 3 = 0 + 0 + 3 = 3$.

Таким образом, точка пересечения с осью y имеет координаты $(0; 3)$.

Пересечение с осью абсцисс (осью x):

Точки пересечения с осью x имеют ординату $y = 0$. Подставим это значение в уравнение параболы и решим полученное квадратное уравнение:

$2x^2 + 5x + 3 = 0$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 1}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$.

Таким образом, точки пересечения с осью x имеют координаты $(-1; 0)$ и $(-\frac{3}{2}; 0)$.

Ответ: с осью y: $(0; 3)$; с осью x: $(-1; 0)$ и $(-\frac{3}{2}; 0)$.

2) $y = -3x^2 - x + 10$

Пересечение с осью ординат (осью y):

Подставим $x = 0$ в уравнение параболы:

$y = -3(0)^2 - 0 + 10 = 10$.

Точка пересечения с осью y имеет координаты $(0; 10)$.

Пересечение с осью абсцисс (осью x):

Подставим $y = 0$ в уравнение параболы:

$-3x^2 - x + 10 = 0$.

Для удобства умножим все члены уравнения на $-1$:

$3x^2 + x - 10 = 0$.

Найдем дискриминант $D$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 1 + 120 = 121$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$. Найдем корни:

$x_1 = \frac{-1 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.

$x_2 = \frac{-1 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$.

Таким образом, точки пересечения с осью x имеют координаты $(\frac{5}{3}; 0)$ и $(-2; 0)$.

Ответ: с осью y: $(0; 10)$; с осью x: $(\frac{5}{3}; 0)$ и $(-2; 0)$.