Номер 135, страница 43 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

135. Найти нули функции:

1) $y = x^2 - 4x + 3;$

2) $y = x^2 + x - 6;$

3) $y = 3x^2 + 5x - 2;$

4) $y = -3x^2 + 7x - 2.$

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти нули для каждой функции, нужно приравнять ее к нулю и решить полученное квадратное уравнение.

1) $y = x^2 - 4x + 3$

Приравниваем функцию к нулю: $x^2 - 4x + 3 = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение, где коэффициенты $a=1$, $b=-4$, $c=3$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Ответ: 1; 3.

2) $y = x^2 + x - 6$

Приравниваем функцию к нулю: $x^2 + x - 6 = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение, где коэффициенты $a=1$, $b=1$, $c=-6$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Ответ: -3; 2.

3) $y = 3x^2 + 5x - 2$

Приравниваем функцию к нулю: $3x^2 + 5x - 2 = 0$.

Это квадратное уравнение, где коэффициенты $a=3$, $b=5$, $c=-2$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2$.

Ответ: -2; $\frac{1}{3}$.

4) $y = -3x^2 + 7x - 2$

Приравниваем функцию к нулю: $-3x^2 + 7x - 2 = 0$.

Для удобства умножим обе части уравнения на -1: $3x^2 - 7x + 2 = 0$.

Это квадратное уравнение, где коэффициенты $a=3$, $b=-7$, $c=2$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2$.

$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$; 2.