Номер 115, страница 38 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

115. Решить систему уравнений:

1) $ \begin{cases} 2x - y = 0, \\ 3x^2 - y^2 + 4 = 0; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x - 2y = 8, \\ x^2 + 2y^2 = 22; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 13, \\ xy + 6 = 0. \end{cases} $

1) Решим систему уравнений:
$ \begin{cases} 2x - y = 0 \\ 3x^2 - y^2 + 4 = 0 \end{cases} $
Это система из одного линейного и одного квадратного уравнения. Воспользуемся методом подстановки.
Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 2x$
Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы:
$3x^2 - (2x)^2 + 4 = 0$
$3x^2 - 4x^2 + 4 = 0$
$-x^2 + 4 = 0$
$x^2 = 4$
Отсюда находим два возможных значения для $x$:
$x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$, используя формулу $y = 2x$.
Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 2 \cdot 2 = 4$.
Если $x_2 = -2$, то $y_2 = 2 \cdot (-2) = -4$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(2; 4), (-2; -4)$.

2) Решим систему уравнений:
$ \begin{cases} x - 2y = 8 \\ x^2 + 2y^2 = 22 \end{cases} $
Применим метод подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:
$x = 8 + 2y$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(8 + 2y)^2 + 2y^2 = 22$
Раскроем скобки и упростим уравнение:
$64 + 32y + 4y^2 + 2y^2 = 22$
$6y^2 + 32y + 64 - 22 = 0$
$6y^2 + 32y + 42 = 0$
Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения:
$3y^2 + 16y + 21 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$ с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 16^2 - 4 \cdot 3 \cdot 21 = 256 - 252 = 4$
$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-16 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-16 \pm 2}{6}$
$y_1 = \frac{-16 + 2}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$
$y_2 = \frac{-16 - 2}{6} = \frac{-18}{6} = -3$
Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$ по формуле $x = 8 + 2y$.
Если $y_1 = -\frac{7}{3}$, то $x_1 = 8 + 2 \cdot (-\frac{7}{3}) = 8 - \frac{14}{3} = \frac{24-14}{3} = \frac{10}{3}$.
Если $y_2 = -3$, то $x_2 = 8 + 2 \cdot (-3) = 8 - 6 = 2$.
Система имеет два решения.
Ответ: $(\frac{10}{3}; -\frac{7}{3}), (2; -3)$.

3) Решим систему уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ xy + 6 = 0 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $y$ (предполагая, что $x \neq 0$):
$xy = -6$
$y = -\frac{6}{x}$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$x^2 + (-\frac{6}{x})^2 = 13$
$x^2 + \frac{36}{x^2} = 13$
Умножим обе части уравнения на $x^2$, чтобы избавиться от знаменателя:
$x^4 + 36 = 13x^2$
$x^4 - 13x^2 + 36 = 0$
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$ (причем $t \ge 0$).
$t^2 - 13t + 36 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 13, а произведение равно 36. Корни легко находятся: $t_1 = 4$ и $t_2 = 9$. Оба корня положительны, поэтому подходят.
Вернемся к переменной $x$:
1) $x^2 = 4 \implies x = \pm 2$
Если $x = 2$, то $y = -\frac{6}{2} = -3$. Получаем решение $(2, -3)$.
Если $x = -2$, то $y = -\frac{6}{-2} = 3$. Получаем решение $(-2, 3)$.
2) $x^2 = 9 \implies x = \pm 3$
Если $x = 3$, то $y = -\frac{6}{3} = -2$. Получаем решение $(3, -2)$.
Если $x = -3$, то $y = -\frac{6}{-3} = 2$. Получаем решение $(-3, 2)$.
Система имеет четыре решения.
Ответ: $(2; -3), (-2; 3), (3; -2), (-3; 2)$.