Номер 113, страница 38 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

113. Решить уравнение:

1) $ \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 5x} = 0; $

2) $ \frac{-x^2 - 2x + 15}{x^2 + 4x} = 0; $

3) $ \frac{x^2 - x - 12}{x^2 - 9} = 0; $

4) $ \frac{3x^2 + 8x - 3}{2x + 6} = 0; $

5) $ \frac{1}{2} + \frac{4}{x} = \frac{5}{x - 3}; $

6) $ \frac{7}{x} + \frac{1}{x - 5} = 1\frac{1}{2}. $

1) $\frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 5x} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это условие можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x^2 - 5x + 6 = 0 \\ x^2 - 5x \neq 0 \end{cases}$

1. Решим уравнение числителя: $x^2 - 5x + 6 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Отсюда находим корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

2. Проверим условие для знаменателя (Область допустимых значений, ОДЗ): $x^2 - 5x \neq 0$.
Разложим на множители: $x(x - 5) \neq 0$.
Следовательно, $x \neq 0$ и $x \neq 5$.

3. Сравним найденные корни с ОДЗ. Оба корня, $x=2$ и $x=3$, удовлетворяют условиям ($2 \neq 0, 2 \neq 5$ и $3 \neq 0, 3 \neq 5$).

Ответ: $2; 3$.

2) $\frac{-x^2 - 2x + 15}{x^2 + 4x} = 0$

Решаем систему:

$\begin{cases} -x^2 - 2x + 15 = 0 \\ x^2 + 4x \neq 0 \end{cases}$

1. Решим уравнение числителя: $-x^2 - 2x + 15 = 0$. Умножим на -1 для удобства: $x^2 + 2x - 15 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна -2, а произведение -15. Корни: $x_1 = -5$, $x_2 = 3$.

2. Проверим ОДЗ: $x^2 + 4x \neq 0$.
Разложим на множители: $x(x + 4) \neq 0$.
Следовательно, $x \neq 0$ и $x \neq -4$.

3. Оба корня, $x=-5$ и $x=3$, удовлетворяют условиям ОДЗ, так как они не равны 0 или -4.

Ответ: $-5; 3$.

3) $\frac{x^2 - x - 12}{x^2 - 9} = 0$

Решаем систему:

$\begin{cases} x^2 - x - 12 = 0 \\ x^2 - 9 \neq 0 \end{cases}$

1. Решим уравнение числителя: $x^2 - x - 12 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение -12. Корни: $x_1 = 4$, $x_2 = -3$.

2. Проверим ОДЗ: $x^2 - 9 \neq 0$.
Разложим на множители по формуле разности квадратов: $(x - 3)(x + 3) \neq 0$.
Следовательно, $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

3. Сравним корни с ОДЗ. Корень $x=4$ удовлетворяет условию. Корень $x=-3$ не удовлетворяет условию ($x \neq -3$), поэтому он является посторонним.

Ответ: $4$.

4) $\frac{3x^2 + 8x - 3}{2x + 6} = 0$

Решаем систему:

$\begin{cases} 3x^2 + 8x - 3 = 0 \\ 2x + 6 \neq 0 \end{cases}$

1. Решим уравнение числителя: $3x^2 + 8x - 3 = 0$.
Используем формулу для корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$.
$x_1 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 - 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3$.

2. Проверим ОДЗ: $2x + 6 \neq 0 \Rightarrow 2x \neq -6 \Rightarrow x \neq -3$.

3. Сравним корни с ОДЗ. Корень $x=1/3$ удовлетворяет условию. Корень $x=-3$ не удовлетворяет условию, поэтому он является посторонним.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

5) $\frac{1}{2} + \frac{4}{x} = \frac{5}{x - 3}$

1. Найдем ОДЗ. Знаменатели не могут быть равны нулю: $x \neq 0$ и $x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$.

2. Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю $2x(x - 3)$:

$\frac{1}{2} + \frac{4}{x} - \frac{5}{x - 3} = 0$

$\frac{1 \cdot x(x-3) + 4 \cdot 2(x-3) - 5 \cdot 2x}{2x(x-3)} = 0$

$\frac{x^2 - 3x + 8x - 24 - 10x}{2x(x-3)} = 0$

$\frac{x^2 - 5x - 24}{2x(x-3)} = 0$

3. Теперь решаем уравнение $x^2 - 5x - 24 = 0$ при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq 3$.
По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение -24. Корни: $x_1 = 8$, $x_2 = -3$.

4. Оба корня, $x=8$ и $x=-3$, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-3; 8$.

6) $\frac{7}{x} + \frac{1}{x-5} = 1\frac{1}{2}$

1. Представим смешанное число в виде неправильной дроби: $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$. Уравнение примет вид: $\frac{7}{x} + \frac{1}{x-5} = \frac{3}{2}$.

2. Найдем ОДЗ: $x \neq 0$ и $x - 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$.

3. Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю $2x(x-5)$:

$\frac{7}{x} + \frac{1}{x-5} - \frac{3}{2} = 0$

$\frac{7 \cdot 2(x-5) + 1 \cdot 2x - 3 \cdot x(x-5)}{2x(x-5)} = 0$

$\frac{14x - 70 + 2x - 3x^2 + 15x}{2x(x-5)} = 0$

$\frac{-3x^2 + 31x - 70}{2x(x-5)} = 0$

4. Решаем уравнение числителя: $-3x^2 + 31x - 70 = 0$ или $3x^2 - 31x + 70 = 0$.
Дискриминант $D = (-31)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 70 = 961 - 840 = 121 = 11^2$.
$x_1 = \frac{31 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{42}{6} = 7$.
$x_2 = \frac{31 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$.

5. Оба корня, $x=7$ и $x=10/3$, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq 5$).

Ответ: $\frac{10}{3}; 7$.