Номер 768, страница 244 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

§1. Логарифмы. Глава VII. Логарифмическая функция - номер 768, страница 244.

Условие.

768. 1) $ \log_2 \log_3 81; $

2) $ \log_3 \log_2 8; $

3) $ 2 \log_{27} \log_{10} 1000; $

4) $ \frac{1}{3} \log_9 \log_2 8; $

5) $ 3 \log_2 \log_4 16 + \log_{\frac{1}{2}} 2; $

6) $ 2 \log_4 \log_{16} 256 + \log_{\sqrt{2}} 8. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Чтобы вычислить значение выражения $ \log_2 \log_3 81 $, мы начнем с вычисления внутреннего логарифма.

Найдем значение $ \log_3 81 $. Это степень, в которую нужно возвести основание 3, чтобы получить 81. Поскольку $ 3^4 = 81 $, то $ \log_3 81 = 4 $.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение: $ \log_2 4 $.

Найдем значение $ \log_2 4 $. Это степень, в которую нужно возвести основание 2, чтобы получить 4. Поскольку $ 2^2 = 4 $, то $ \log_2 4 = 2 $.

Ответ: 2

2) Чтобы вычислить значение выражения $ \log_3 \log_2 8 $, мы начнем с вычисления внутреннего логарифма.

Найдем значение $ \log_2 8 $. Это степень, в которую нужно возвести основание 2, чтобы получить 8. Поскольку $ 2^3 = 8 $, то $ \log_2 8 = 3 $.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение: $ \log_3 3 $.

По определению логарифма, $ \log_a a = 1 $. Следовательно, $ \log_3 3 = 1 $.

Ответ: 1

3) Чтобы вычислить значение выражения $ 2 \log_{27} \log_{10} 1000 $, мы начнем с вычисления внутреннего логарифма.

Найдем значение $ \log_{10} 1000 $. Это степень, в которую нужно возвести 10, чтобы получить 1000. Поскольку $ 10^3 = 1000 $, то $ \log_{10} 1000 = 3 $.

Теперь подставим полученный результат в выражение: $ 2 \log_{27} 3 $.

Найдем значение $ \log_{27} 3 $. Это степень, в которую нужно возвести 27, чтобы получить 3. Пусть $ \log_{27} 3 = x $. Тогда $ 27^x = 3 $. Так как $ 27 = 3^3 $, то $ (3^3)^x = 3^1 $, или $ 3^{3x} = 3^1 $. Отсюда $ 3x = 1 $, и $ x = \frac{1}{3} $.

Окончательно, умножим на коэффициент 2: $ 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $.

Ответ: $ \frac{2}{3} $

4) Чтобы вычислить значение выражения $ \frac{1}{3} \log_9 \log_2 8 $, мы начнем с вычисления внутреннего логарифма.

Найдем значение $ \log_2 8 $. Поскольку $ 2^3 = 8 $, то $ \log_2 8 = 3 $.

Теперь подставим полученный результат в выражение: $ \frac{1}{3} \log_9 3 $.

Найдем значение $ \log_9 3 $. Это степень, в которую нужно возвести 9, чтобы получить 3. Пусть $ \log_9 3 = y $. Тогда $ 9^y = 3 $. Так как $ 9 = 3^2 $, то $ (3^2)^y = 3^1 $, или $ 3^{2y} = 3^1 $. Отсюда $ 2y = 1 $, и $ y = \frac{1}{2} $.

Окончательно, умножим на коэффициент $ \frac{1}{3} $: $ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6} $.

Ответ: $ \frac{1}{6} $

5) Выражение $ 3 \log_2 \log_4 16 + \log_{\frac{1}{2}} 2 $ состоит из двух слагаемых. Вычислим каждое из них по отдельности.

Первое слагаемое: $ 3 \log_2 \log_4 16 $. Сначала вычислим внутренний логарифм $ \log_4 16 $. Поскольку $ 4^2 = 16 $, то $ \log_4 16 = 2 $. Подставим это значение: $ 3 \log_2 2 $. Так как $ \log_2 2 = 1 $, то первое слагаемое равно $ 3 \cdot 1 = 3 $.

Второе слагаемое: $ \log_{\frac{1}{2}} 2 $. Пусть $ \log_{\frac{1}{2}} 2 = z $. Тогда $ (\frac{1}{2})^z = 2 $. Так как $ \frac{1}{2} = 2^{-1} $, то $ (2^{-1})^z = 2^1 $, или $ 2^{-z} = 2^1 $. Отсюда $ -z = 1 $, и $ z = -1 $.

Теперь сложим результаты: $ 3 + (-1) = 2 $.

Ответ: 2

6) Выражение $ 2 \log_4 \log_{16} 256 + \log_{\sqrt{2}} 8 $ состоит из двух слагаемых. Вычислим каждое из них по отдельности.

Первое слагаемое: $ 2 \log_4 \log_{16} 256 $. Сначала вычислим внутренний логарифм $ \log_{16} 256 $. Поскольку $ 16^2 = 256 $, то $ \log_{16} 256 = 2 $. Подставим это значение: $ 2 \log_4 2 $. Найдем $ \log_4 2 $. Пусть $ \log_4 2 = w $. Тогда $ 4^w = 2 $. Так как $ 4=2^2 $, то $ (2^2)^w = 2^1 $, или $ 2^{2w} = 2^1 $. Отсюда $ 2w=1 $ и $ w=\frac{1}{2} $. Первое слагаемое равно $ 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 $.

Второе слагаемое: $ \log_{\sqrt{2}} 8 $. Пусть $ \log_{\sqrt{2}} 8 = v $. Тогда $ (\sqrt{2})^v = 8 $. Так как $ \sqrt{2} = 2^{1/2} $ и $ 8=2^3 $, то $ (2^{1/2})^v = 2^3 $, или $ 2^{v/2} = 2^3 $. Отсюда $ \frac{v}{2} = 3 $, и $ v = 6 $.

Теперь сложим результаты: $ 1 + 6 = 7 $.

Ответ: 7