Номер 787, страница 247 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

787. Выразить данный логарифм через логарифм по основанию 2:

1) $log_4 5$

2) $log_{\frac{1}{2}} 7$

3) $log_{\sqrt{2}} 13$

4) $log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} 3$

Для того чтобы выразить данный логарифм через логарифм по другому основанию, используется формула перехода к новому основанию:

$log_a b = \frac{log_c b}{log_c a}$

В данном случае, нам нужно перейти к основанию $c=2$. Следовательно, мы будем использовать формулу в следующем виде:

$log_a b = \frac{log_2 b}{log_2 a}$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1) Выразить $log_4 5$ через логарифм по основанию 2.

Применим формулу перехода к основанию 2, где $a=4$ и $b=5$:

$log_4 5 = \frac{log_2 5}{log_2 4}$

Теперь упростим знаменатель. Поскольку $4 = 2^2$, то:

$log_2 4 = log_2(2^2) = 2$

Подставим полученное значение обратно в выражение:

$log_4 5 = \frac{log_2 5}{2} = \frac{1}{2}log_2 5$

Ответ: $ \frac{1}{2}log_2 5 $

2) Выразить $log_{\frac{1}{2}} 7$ через логарифм по основанию 2.

Применим формулу перехода к основанию 2, где $a=\frac{1}{2}$ и $b=7$:

$log_{\frac{1}{2}} 7 = \frac{log_2 7}{log_2 (\frac{1}{2})}$

Упростим знаменатель. Поскольку $\frac{1}{2} = 2^{-1}$, то:

$log_2 (\frac{1}{2}) = log_2(2^{-1}) = -1$

Подставим значение в исходное выражение:

$log_{\frac{1}{2}} 7 = \frac{log_2 7}{-1} = -log_2 7$

Ответ: $ -log_2 7 $

3) Выразить $log_{\sqrt{2}} 13$ через логарифм по основанию 2.

Применим формулу перехода к основанию 2, где $a=\sqrt{2}$ и $b=13$:

$log_{\sqrt{2}} 13 = \frac{log_2 13}{log_2 (\sqrt{2})}$

Упростим знаменатель. Поскольку $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$, то:

$log_2 (\sqrt{2}) = log_2(2^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}$

Подставим значение в выражение:

$log_{\sqrt{2}} 13 = \frac{log_2 13}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot log_2 13$

Ответ: $ 2 log_2 13 $

4) Выразить $log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} 3$ через логарифм по основанию 2.

Применим формулу перехода к основанию 2, где $a=\frac{1}{\sqrt{2}}$ и $b=3$:

$log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} 3 = \frac{log_2 3}{log_2 (\frac{1}{\sqrt{2}})}$

Упростим знаменатель. Представим основание $\frac{1}{\sqrt{2}}$ в виде степени двойки: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} = 2^{-\frac{1}{2}}$. Тогда:

$log_2 (\frac{1}{\sqrt{2}}) = log_2(2^{-\frac{1}{2}}) = -\frac{1}{2}$

Подставим значение в выражение:

$log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} 3 = \frac{log_2 3}{-\frac{1}{2}} = -2 \cdot log_2 3$

Ответ: $ -2 log_2 3 $