Номер 789, страница 247 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

789. 1) $\log_{36} 2 - \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{6}} 3$

2) $2 \log_{25} 30 + \log_{0.2} 6$

1) $\log_{36} 2 - \frac{1}{2}\log_{\frac{1}{6}} 3$

Для решения данного выражения необходимо привести логарифмы к одному основанию. Заметим, что оба основания являются степенями числа 6: $36 = 6^2$ и $\frac{1}{6} = 6^{-1}$.

Воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.

Преобразуем первый член выражения:
$\log_{36} 2 = \log_{6^2} 2 = \frac{1}{2} \log_6 2$.

Преобразуем второй член выражения:
$\log_{\frac{1}{6}} 3 = \log_{6^{-1}} 3 = \frac{1}{-1} \log_6 3 = -\log_6 3$.

Теперь подставим преобразованные части обратно в исходное выражение:
$\log_{36} 2 - \frac{1}{2}\log_{\frac{1}{6}} 3 = \frac{1}{2}\log_6 2 - \frac{1}{2}(-\log_6 3) = \frac{1}{2}\log_6 2 + \frac{1}{2}\log_6 3$.

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки и воспользуемся свойством суммы логарифмов $\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)$:
$\frac{1}{2}(\log_6 2 + \log_6 3) = \frac{1}{2}\log_6(2 \cdot 3) = \frac{1}{2}\log_6 6$.

Так как $\log_6 6 = 1$, получаем:
$\frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) $2\log_{25} 30 + \log_{0.2} 6$

Приведем логарифмы к общему основанию. Заметим, что $25 = 5^2$ и $0.2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$. Общим основанием будет 5.

Сначала преобразуем первый член, используя свойство $c \cdot \log_{a^k} b = \frac{c}{k} \log_a b$:
$2\log_{25} 30 = 2\log_{5^2} 30 = 2 \cdot \frac{1}{2} \log_5 30 = \log_5 30$.

Теперь преобразуем второй член, используя свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$:
$\log_{0.2} 6 = \log_{5^{-1}} 6 = \frac{1}{-1} \log_5 6 = -\log_5 6$.

Подставим преобразованные части в исходное выражение:
$2\log_{25} 30 + \log_{0.2} 6 = \log_5 30 + (-\log_5 6) = \log_5 30 - \log_5 6$.

Воспользуемся свойством разности логарифмов $\log_a x - \log_a y = \log_a(\frac{x}{y})$:
$\log_5 30 - \log_5 6 = \log_5(\frac{30}{6}) = \log_5 5$.

Так как $\log_5 5 = 1$, получаем окончательный результат.

Ответ: $1$.