Номер 759, страница 243 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

759. 1) $log_5 625;$

2) $log_6 216;$

3) $log_4 \frac{1}{16};$

4) $log_5 \frac{1}{125}.$

1) Чтобы найти значение выражения $\log_5 625$, нужно определить, в какую степень следует возвести основание логарифма (число 5), чтобы получить число под знаком логарифма (625).

Обозначим искомое значение как $x$: $\log_5 625 = x$.

По определению логарифма, это эквивалентно уравнению: $5^x = 625$.

Представим число 625 как степень числа 5:
$5^1 = 5$
$5^2 = 25$
$5^3 = 125$
$5^4 = 625$

Таким образом, $5^x = 5^4$, откуда следует, что $x=4$.

Другой способ решения — использование свойства логарифма $\log_a (a^p) = p$:
$\log_5 625 = \log_5 (5^4) = 4$.

Ответ: 4

2) Чтобы найти значение выражения $\log_6 216$, нужно определить, в какую степень следует возвести основание 6, чтобы получить 216.

Пусть $\log_6 216 = x$.

Тогда по определению логарифма: $6^x = 216$.

Вычислим степени числа 6:
$6^1 = 6$
$6^2 = 36$
$6^3 = 216$

Следовательно, $6^x = 6^3$, и $x=3$.

Используя свойство $\log_a (a^p) = p$:
$\log_6 216 = \log_6 (6^3) = 3$.

Ответ: 3

3) Для вычисления $\log_4 \frac{1}{16}$ найдем степень, в которую нужно возвести 4, чтобы получить $\frac{1}{16}$.

Пусть $\log_4 \frac{1}{16} = x$.

По определению логарифма: $4^x = \frac{1}{16}$.

Мы знаем, что $16 = 4^2$. Используя свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, мы можем переписать правую часть уравнения:
$\frac{1}{16} = \frac{1}{4^2} = 4^{-2}$.

Теперь уравнение выглядит так: $4^x = 4^{-2}$.

Отсюда следует, что $x=-2$.

Также можно использовать свойства логарифмов $\log_a \frac{1}{b} = -\log_a b$ и $\log_a (a^p) = p$:
$\log_4 \frac{1}{16} = \log_4 (16^{-1}) = -\log_4 16 = -\log_4 (4^2) = -2$.

Ответ: -2

4) Для вычисления $\log_5 \frac{1}{125}$ найдем степень, в которую нужно возвести 5, чтобы получить $\frac{1}{125}$.

Пусть $\log_5 \frac{1}{125} = x$.

Это означает, что $5^x = \frac{1}{125}$.

Мы знаем, что $125 = 5^3$. Используя свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:
$\frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = 5^{-3}$.

Подставим это в уравнение: $5^x = 5^{-3}$.

Отсюда $x=-3$.

Используя свойства логарифмов:
$\log_5 \frac{1}{125} = \log_5 (125^{-1}) = -\log_5 125 = -\log_5 (5^3) = -3$.

Ответ: -3