Номер 757, страница 243 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

757. 1) $\log_3 \frac{1}{9}$;

2) $\log_3 \frac{1}{3}$;

3) $\log_3 \sqrt[4]{3}$;

4) $\log_3 \frac{1}{\sqrt[4]{9}}$.

1) Для вычисления $ \log_3 \frac{1}{9} $ нужно найти показатель степени, в которую необходимо возвести основание 3, чтобы получить число $ \frac{1}{9} $.
Представим число $ \frac{1}{9} $ в виде степени с основанием 3. Поскольку $ 9 = 3^2 $, то, используя свойство степени $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, получаем $ \frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2} $.
Таким образом, исходное выражение можно переписать как $ \log_3 (3^{-2}) $.
По определению логарифма, $ \log_a (a^x) = x $, следовательно, $ \log_3 (3^{-2}) = -2 $.
Ответ: -2

2) Для вычисления $ \log_3 \frac{1}{3} $ найдем показатель степени, в которую нужно возвести основание 3, чтобы получить $ \frac{1}{3} $.
Используя свойство степени с отрицательным показателем, имеем $ \frac{1}{3} = 3^{-1} $.
Значит, $ \log_3 \frac{1}{3} = \log_3 (3^{-1}) $.
По определению логарифма, $ \log_3 (3^{-1}) = -1 $.
Ответ: -1

3) Для вычисления $ \log_3 \sqrt[4]{3} $ найдем показатель степени, в которую нужно возвести основание 3, чтобы получить $ \sqrt[4]{3} $.
Представим корень в виде степени с рациональным показателем, используя свойство $ \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} $.
Получаем $ \sqrt[4]{3} = 3^{\frac{1}{4}} $.
Следовательно, $ \log_3 \sqrt[4]{3} = \log_3 (3^{\frac{1}{4}}) $.
По определению логарифма, $ \log_3 (3^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{4} $.
Ответ: $ \frac{1}{4} $

4) Для вычисления $ \log_3 \frac{1}{\sqrt[4]{9}} $ найдем показатель степени, в которую нужно возвести основание 3, чтобы получить $ \frac{1}{\sqrt[4]{9}} $.
Сначала преобразуем выражение под знаком логарифма. Представим 9 как степень 3: $ 9 = 3^2 $.
Тогда $ \sqrt[4]{9} = \sqrt[4]{3^2} $. Используя свойство корня $ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} $, получаем $ \sqrt[4]{3^2} = 3^{\frac{2}{4}} = 3^{\frac{1}{2}} $.
Теперь исходное выражение можно записать как $ \log_3 \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} $.
Используя свойство степени с отрицательным показателем, получаем $ \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} = 3^{-\frac{1}{2}} $.
Таким образом, $ \log_3 \frac{1}{\sqrt[4]{9}} = \log_3 (3^{-\frac{1}{2}}) = -\frac{1}{2} $.
Ответ: $ -\frac{1}{2} $