Номер 3, страница 240 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

3. Решить уравнение:

1) $5^{|x-1|} = 0,2^{|x+3|}$.

2) $3^{x^2} \cdot 5^{x^2} = 225^x$.

3) $4^{x-4} = 6^{4-x}$.

4) $3^{3x+1} - 10 \cdot 9^{x+1} + 9^{x+2} = 0$.

1) $5^{|x-1|} = 0,2^{|x+3|}$

Первым шагом преобразуем десятичную дробь $0,2$ в обыкновенную и представим ее в виде степени с основанием 5:
$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1}$.

Подставим это значение в исходное уравнение:
$5^{|x-1|} = (5^{-1})^{|x+3|}$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, упростим правую часть уравнения:
$5^{|x-1|} = 5^{-|x+3|}$.

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$|x-1| = -|x+3|$.

Перенесем все члены в левую часть:
$|x-1| + |x+3| = 0$.

По определению, модуль любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $|x-1| \ge 0$ и $|x+3| \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда оба числа равны нулю. Следовательно, мы получаем систему уравнений: $$ \begin{cases} |x-1| = 0 \\ |x+3| = 0 \end{cases} $$

Решаем каждое уравнение:
Из первого уравнения: $x-1 = 0 \implies x = 1$.
Из второго уравнения: $x+3 = 0 \implies x = -3$.

Поскольку переменная $x$ не может одновременно принимать два разных значения ($1$ и $-3$), данная система не имеет решений. Следовательно, и исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

2) $3^{x^2} \cdot 5^{x^2} = 225^x$

В левой части уравнения воспользуемся свойством степеней $a^c \cdot b^c = (ab)^c$:
$(3 \cdot 5)^{x^2} = 225^x$
$15^{x^2} = 225^x$.

Представим число $225$ в виде степени с основанием $15$: $225 = 15^2$. Подставим это в правую часть уравнения:
$15^{x^2} = (15^2)^x$.

Применим свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:
$15^{x^2} = 15^{2x}$.

Поскольку основания степеней равны, приравниваем показатели:
$x^2 = 2x$.

Перенесем все члены в левую часть и решим полученное квадратное уравнение:
$x^2 - 2x = 0$
$x(x - 2) = 0$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$ или $x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$.

Ответ: $0; 2$.

3) $4^{x-4} = 64^{4-x}$

Приведем обе части уравнения к одному основанию. Заметим, что $64 = 4^3$.
Подставим это в уравнение:
$4^{x-4} = (4^3)^{4-x}$.

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ для правой части:
$4^{x-4} = 4^{3(4-x)}$.

Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:
$x - 4 = 3(4 - x)$.

Решим полученное линейное уравнение. Раскроем скобки в правой части:
$x - 4 = 12 - 3x$.

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные — в правую:
$x + 3x = 12 + 4$
$4x = 16$.

Найдем $x$:
$x = \frac{16}{4} = 4$.

Ответ: $4$.

4) $3^{3x+1} - 10 \cdot 9^{x+1} + 9^{x+2} = 0$

Приведем все степени к одному основанию $3$, так как $9 = 3^2$:
$9^{x+1} = (3^2)^{x+1} = 3^{2(x+1)} = 3^{2x+2}$
$9^{x+2} = (3^2)^{x+2} = 3^{2(x+2)} = 3^{2x+4}$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$3^{3x+1} - 10 \cdot 3^{2x+2} + 3^{2x+4} = 0$.

Используем свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы вынести числовые множители:
$3^{3x} \cdot 3^1 - 10 \cdot (3^{2x} \cdot 3^2) + (3^{2x} \cdot 3^4) = 0$
$3 \cdot 3^{3x} - 10 \cdot 9 \cdot 3^{2x} + 81 \cdot 3^{2x} = 0$
$3 \cdot 3^{3x} - 90 \cdot 3^{2x} + 81 \cdot 3^{2x} = 0$.

Приведем подобные слагаемые:
$3 \cdot 3^{3x} - 9 \cdot 3^{2x} = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 3^x$. Тогда $3^{2x} = (3^x)^2 = y^2$ и $3^{3x} = (3^x)^3 = y^3$. Так как $3^x > 0$ для любого $x$, то $y > 0$.
Уравнение примет вид:
$3y^3 - 9y^2 = 0$.

Вынесем общий множитель $3y^2$ за скобки:
$3y^2(y - 3) = 0$.

Это уравнение имеет два решения для $y$:
$3y^2 = 0 \implies y = 0$
$y - 3 = 0 \implies y = 3$.

Выполним обратную замену:
1. $y = 0 \implies 3^x = 0$. Это уравнение не имеет решений, так как показательная функция всегда положительна.
2. $y = 3 \implies 3^x = 3$. Так как $3=3^1$, то $x=1$.

Единственным решением уравнения является $x=1$.

Ответ: $1$.