Номер 752, страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

752. Решить уравнение $2^{|x+1|} - |2^x - 1| = 1 + 2^x$.

Для решения данного уравнения, содержащего модули, рассмотрим несколько случаев, в зависимости от знаков выражений под модулями. Таких выражений два: $x+1$ и $2^x-1$.

Найдем точки, в которых эти выражения равны нулю:

$x+1=0 \implies x=-1$

$2^x-1=0 \implies 2^x=1 \implies x=0$

Эти точки делят числовую ось на три промежутка. Раскроем модули на каждом из этих промежутков.

Случай 1: $x < -1$

На этом промежутке $x+1 < 0$, следовательно, $|x+1| = -(x+1) = -x-1$.

Также, так как $x < 0$, то $2^x < 1$, значит $2^x-1 < 0$. Следовательно, $|2^x-1| = -(2^x-1) = 1-2^x$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$2^{-x-1} - (1-2^x) = 1+2^x$

$2^{-x-1} - 1 + 2^x = 1+2^x$

$2^{-x-1} = 2$

$2^{-x-1} = 2^1$

Приравнивая показатели степени, получаем:

$-x-1 = 1$

$-x = 2$

$x = -2$

Поскольку $-2 < -1$, данное значение принадлежит рассматриваемому промежутку, а значит, является корнем уравнения.

Случай 2: $-1 \le x < 0$

На этом промежутке $x+1 \ge 0$, следовательно, $|x+1| = x+1$.

Так как $x < 0$, то $2^x < 1$, значит $2^x-1 < 0$. Следовательно, $|2^x-1| = -(2^x-1) = 1-2^x$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$2^{x+1} - (1-2^x) = 1+2^x$

$2^{x+1} - 1 + 2^x = 1+2^x$

$2^{x+1} = 2$

$2^{x+1} = 2^1$

Приравнивая показатели степени, получаем:

$x+1 = 1$

$x = 0$

Полученное значение $x=0$ не входит в рассматриваемый промежуток $[-1; 0)$. Следовательно, на этом промежутке решений нет.

Случай 3: $x \ge 0$

На этом промежутке $x+1 > 0$, следовательно, $|x+1| = x+1$.

Также, так как $x \ge 0$, то $2^x \ge 1$, значит $2^x-1 \ge 0$. Следовательно, $|2^x-1| = 2^x-1$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$2^{x+1} - (2^x-1) = 1+2^x$

$2^{x+1} - 2^x + 1 = 1+2^x$

Используя свойство $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$, перепишем левую часть:

$2 \cdot 2^x - 2^x + 1 = 1+2^x$

$2^x + 1 = 1+2^x$

Это равенство является тождеством и верно для всех $x$ из рассматриваемого промежутка. Следовательно, все значения $x \ge 0$ являются решениями уравнения.

Объединяя результаты, полученные во всех случаях, находим итоговое множество решений.

Ответ: $\{-2\} \cup [0; +\infty)$.