Номер 874, страница 264 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

874. 1) $\log^2_{0.2} x - 5 \log_{0.2} x < -6;$

2) $\log^2_{0.1} x + 3 \log_{0.1} x > 4.$

1) Решим неравенство $\log_{0,2}^2 x - 5 \log_{0,2} x < -6$.
Сначала перенесем все члены в левую часть неравенства:
$\log_{0,2}^2 x - 5 \log_{0,2} x + 6 < 0$
Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма определяется условием $x > 0$.
Это неравенство является квадратным относительно $\log_{0,2} x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_{0,2} x$. Тогда неравенство принимает вид:
$t^2 - 5t + 6 < 0$
Найдем корни квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$. По теореме Виета, корни равны $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.
Графиком функции $y = t^2 - 5t + 6$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции меньше нуля между корнями. Таким образом, решение неравенства для $t$:
$2 < t < 3$
Теперь выполним обратную замену:
$2 < \log_{0,2} x < 3$
Это двойное неравенство эквивалентно системе:
$\{ \begin{array}{l} \log_{0,2} x > 2 \\ \log_{0,2} x < 3 \end{array} \$
Поскольку основание логарифма $0,2 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знаки неравенств меняются на противоположные:
$\{ \begin{array}{l} x < 0,2^2 \\ x > 0,2^3 \end{array} \Rightarrow \{ \begin{array}{l} x < 0,04 \\ x > 0,008 \end{array} \$
Объединяя эти два условия, получаем $0,008 < x < 0,04$.
Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $x \in (0,008; 0,04)$.

2) Решим неравенство $\log_{0,1}^2 x + 3 \log_{0,1} x > 4$.
Перенесем все члены в левую часть:
$\log_{0,1}^2 x + 3 \log_{0,1} x - 4 > 0$
ОДЗ: $x > 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_{0,1} x$.
$t^2 + 3t - 4 > 0$
Найдем корни уравнения $t^2 + 3t - 4 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = -4$ и $t_2 = 1$.
Графиком функции $y = t^2 + 3t - 4$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции больше нуля вне интервала между корнями. Следовательно, решение для $t$:
$t < -4$ или $t > 1$.
Выполним обратную замену. Это приводит к совокупности двух неравенств:
$[ \begin{array}{l} \log_{0,1} x < -4 \\ \log_{0,1} x > 1 \end{array} ]$
Поскольку основание логарифма $0,1 < 1$, логарифмическая функция является убывающей, и при переходе к аргументам знаки неравенств меняются на противоположные.
1) $\log_{0,1} x < -4 \Rightarrow x > (0,1)^{-4} \Rightarrow x > (\frac{1}{10})^{-4} \Rightarrow x > 10^4 \Rightarrow x > 10000$.
2) $\log_{0,1} x > 1 \Rightarrow x < (0,1)^1 \Rightarrow x < 0,1$.
Получили два промежутка: $x > 10000$ и $x < 0,1$.
Учитывая ОДЗ ($x > 0$), окончательное решение представляет собой объединение интервалов:
$0 < x < 0,1$ и $x > 10000$.
Ответ: $x \in (0; 0,1) \cup (10000; +\infty)$.