Номер 12, страница 268 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

12. Является ли функция $y=\log_a x$:

1) ограниченной сверху;

2) ограниченной снизу?

Рассмотрим функцию $y = \log_a x$. По определению логарифма, основание $a$ должно быть положительным и не равным единице ($a > 0$, $a \neq 1$), а аргумент $x$ должен быть строго положительным ($x > 0$). Таким образом, область определения функции $D(y) = (0; +\infty)$.

Ключевым свойством логарифмической функции является ее множество значений (или область значений) — это множество всех действительных чисел, то есть $E(y) = (-\infty; +\infty)$. Это означает, что функция может принимать как сколь угодно большие положительные значения, так и сколь угодно большие по модулю отрицательные значения. Из этого свойства следует, что функция не является ограниченной ни сверху, ни снизу. Проанализируем каждый случай подробнее.

Функция $y=f(x)$ называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \le M$.

Докажем, что для функции $y = \log_a x$ такого числа $M$ не существует. Для этого достаточно показать, что для любого, сколь угодно большого числа $M$, можно найти такое значение $x_0$, что $\log_a x_0 > M$.

Рассмотрим два возможных случая для основания $a$:

Случай 1: $a > 1$. В этом случае логарифмическая функция является возрастающей. Решим неравенство $\log_a x > M$. Потенцируя обе части по основанию $a$, получаем: $x > a^M$. Так как мы можем выбрать $x$ сколь угодно большим (например, $x_0 = a^M + 1$), то всегда найдется значение аргумента, при котором значение функции превысит любое заданное число $M$. Это означает, что функция не ограничена сверху. В частности, $\lim_{x\to+\infty} \log_a x = +\infty$.

Случай 2: $0 < a < 1$. В этом случае логарифмическая функция является убывающей. Решим неравенство $\log_a x > M$. При потенцировании по основанию $a < 1$ знак неравенства меняется на противоположный: $x < a^M$. Мы можем выбрать положительное число $x_0$, удовлетворяющее этому условию (например, $x_0 = a^M / 2$). Следовательно, и в этом случае функция не ограничена сверху. В частности, $\lim_{x\to 0^+} \log_a x = +\infty$.

Таким образом, ни при каком допустимом значении $a$ функция $y = \log_a x$ не является ограниченной сверху.

Ответ: нет, функция не является ограниченной сверху.

Функция $y=f(x)$ называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \ge m$.

Аналогично предыдущему пункту, докажем, что для функции $y = \log_a x$ такого числа $m$ не существует. Для этого покажем, что для любого, сколь угодно большого по модулю отрицательного числа $m$, можно найти такое значение $x_0$, что $\log_a x_0 < m$.

Рассмотрим два возможных случая для основания $a$:

Случай 1: $a > 1$. Логарифмическая функция является возрастающей. Решим неравенство $\log_a x < m$. Потенцируя по основанию $a > 1$, получаем: $x < a^m$. Мы можем выбрать положительное число $x_0$, удовлетворяющее этому условию (например, $x_0 = a^m / 2$). Следовательно, функция может принимать сколь угодно малые значения и не ограничена снизу. В частности, $\lim_{x\to 0^+} \log_a x = -\infty$.

Случай 2: $0 < a < 1$. Логарифмическая функция является убывающей. Решим неравенство $\log_a x < m$. Потенцируя по основанию $a < 1$ и меняя знак неравенства, получаем: $x > a^m$. Мы можем выбрать $x_0$ сколь угодно большим (например, $x_0 = a^m + 1$), поэтому всегда найдется $x$, при котором значение функции будет меньше любого заданного $m$. Следовательно, функция не ограничена снизу. В частности, $\lim_{x\to+\infty} \log_a x = -\infty$.

Таким образом, ни при каком допустимом значении $a$ функция $y = \log_a x$ не является ограниченной снизу.

Ответ: нет, функция не является ограниченной снизу.