Страница 274 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

925. Найти радианную меру угла, выраженного в градусах:

1) $40^{\circ}$;

2) $120^{\circ}$;

3) $150^{\circ}$;

4) $75^{\circ}$;

5) $32^{\circ}$;

6) $140^{\circ}$.

Для перевода градусной меры угла в радианную используется формула, основанная на соотношении $180^\circ = \pi$ радиан. Чтобы перевести угол $\alpha$, выраженный в градусах, в радианы, необходимо умножить его значение на множитель $\frac{\pi}{180^\circ}$:

$\alpha_{рад} = \alpha^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ}$

1) 40°

Чтобы найти радианную меру угла $40^\circ$, умножим это значение на $\frac{\pi}{180^\circ}$ и сократим полученную дробь:

$40^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{40\pi}{180} = \frac{4\pi}{18} = \frac{2\pi}{9}$

Ответ: $\frac{2\pi}{9}$

2) 120°

Найдем радианную меру угла $120^\circ$:

$120^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{120\pi}{180} = \frac{12\pi}{18} = \frac{2\pi}{3}$

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$

3) 150°

Найдем радианную меру угла $150^\circ$:

$150^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{150\pi}{180} = \frac{15\pi}{18} = \frac{5\pi}{6}$

Ответ: $\frac{5\pi}{6}$

4) 75°

Найдем радианную меру угла $75^\circ$. Сократим числитель и знаменатель на 15:

$75^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{75\pi}{180} = \frac{(5 \cdot 15)\pi}{(12 \cdot 15)} = \frac{5\pi}{12}$

Ответ: $\frac{5\pi}{12}$

5) 32°

Найдем радианную меру угла $32^\circ$. Сократим числитель и знаменатель на 4:

$32^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{32\pi}{180} = \frac{(8 \cdot 4)\pi}{(45 \cdot 4)} = \frac{8\pi}{45}$

Ответ: $\frac{8\pi}{45}$

6) 140°

Найдем радианную меру угла $140^\circ$. Сократим числитель и знаменатель на 20:

$140^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{140\pi}{180} = \frac{(7 \cdot 20)\pi}{(9 \cdot 20)} = \frac{7\pi}{9}$

Ответ: $\frac{7\pi}{9}$

926. Найти градусную меру угла, выраженного в радианах:

1) $\frac{\pi}{6}$;

2) $\frac{\pi}{9}$;

3) $\frac{3}{4}\pi$;

4) $2$;

5) $3$;

6) $0,36$.

Для того чтобы найти градусную меру угла, выраженного в радианах, необходимо использовать формулу перевода. Известно, что $\pi$ радиан соответствует $180°$. Следовательно, для перевода угла из радиан в градусы, нужно значение угла в радианах умножить на множитель $\frac{180°}{\pi}$.

1) Переведем угол $\frac{\pi}{6}$ радиан в градусы:
$\frac{\pi}{6} \cdot \frac{180°}{\pi} = \frac{180°}{6} = 30°$.
Ответ: $30°$.

2) Переведем угол $\frac{\pi}{9}$ радиан в градусы:
$\frac{\pi}{9} \cdot \frac{180°}{\pi} = \frac{180°}{9} = 20°$.
Ответ: $20°$.

3) Переведем угол $\frac{3\pi}{4}$ радиан в градусы:
$\frac{3\pi}{4} \cdot \frac{180°}{\pi} = 3 \cdot \frac{180°}{4} = 3 \cdot 45° = 135°$.
Ответ: $135°$.

4) Переведем угол $2$ радиана в градусы:
$2 \cdot \frac{180°}{\pi} = \frac{360°}{\pi}$.
Ответ: $(\frac{360}{\pi})°$.

5) Переведем угол $3$ радиана в градусы:
$3 \cdot \frac{180°}{\pi} = \frac{540°}{\pi}$.
Ответ: $(\frac{540}{\pi})°$.

6) Переведем угол $0,36$ радиана в градусы:
$0,36 \cdot \frac{180°}{\pi} = \frac{0.36 \cdot 180°}{\pi} = \frac{64.8°}{\pi}$.
Ответ: $(\frac{64,8}{\pi})°$.

927. (Устно.) Определить градусную и радианную меры углов:

a) равностороннего треугольника;

б) равнобедренного прямоугольного треугольника;

в) квадрата.

а) равностороннего треугольника

В равностороннем треугольнике все стороны и, следовательно, все углы равны. Сумма внутренних углов любого треугольника составляет $180^\circ$.

Для нахождения градусной меры одного угла нужно разделить общую сумму на количество углов:
$180^\circ \div 3 = 60^\circ$

Для перевода градусной меры в радианную используется соотношение $180^\circ = \pi$ радиан.
Радианная мера угла:
$60^\circ = 60 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$ радиан.

Ответ: каждый угол равностороннего треугольника равен $60^\circ$ или $\frac{\pi}{3}$ радиан.

б) равнобедренного прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике один из углов прямой, то есть равен $90^\circ$. Сумма двух других острых углов равна $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Поскольку треугольник равнобедренный, его катеты равны, а значит и углы при основании (гипотенузе) также равны.

Градусная мера каждого из острых углов:
$90^\circ \div 2 = 45^\circ$
Таким образом, углы треугольника равны $90^\circ, 45^\circ, 45^\circ$.

Переведем эти значения в радианы:
$90^\circ = 90 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{2}$ радиан.
$45^\circ = 45 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{4}$ радиан.

Ответ: один угол равен $90^\circ$ ($\frac{\pi}{2}$ радиан), два других угла равны по $45^\circ$ ($\frac{\pi}{4}$ радиан).

в) квадрата

Квадрат является правильным четырехугольником, у которого все четыре угла прямые и равны между собой.

Градусная мера каждого угла квадрата составляет $90^\circ$.

Радианная мера каждого угла:
$90^\circ = 90 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{2}$ радиан.

Ответ: каждый угол квадрата равен $90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$ радиан.

928. Вычислить радиус окружности, если дуге длиной 0,36 м соответствует центральный угол в 0,9 рад.

Для решения этой задачи используется формула, которая связывает длину дуги окружности $L$, ее радиус $R$ и центральный угол $\alpha$, выраженный в радианах.

Формула длины дуги выглядит следующим образом:

$L = R \cdot \alpha$

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:

• Длина дуги $L = 0,36$ м
• Центральный угол $\alpha = 0,9$ рад

Чтобы вычислить радиус $R$, необходимо выразить его из основной формулы:

$R = \frac{L}{\alpha}$

Теперь подставим известные значения в эту формулу и выполним вычисление:

$R = \frac{0,36 \text{ м}}{0,9} = 0,4$ м.

Таким образом, радиус данной окружности составляет 0,4 метра.

Ответ: 0,4 м.

929. Найти радианную меру угла, который соответствует дуге окружности длиной 3 см, если радиус окружности равен 1,5 см.

Для того чтобы найти радианную меру угла, необходимо воспользоваться формулой, связывающей длину дуги окружности ($L$), радиус окружности ($r$) и центральный угол в радианах ($\alpha$), который опирается на эту дугу.

Формула для нахождения длины дуги:
$L = \alpha \cdot r$

Чтобы найти угол $\alpha$ в радианах, выразим его из этой формулы:
$\alpha = \frac{L}{r}$

По условию задачи нам даны:
Длина дуги $L = 3$ см.
Радиус окружности $r = 1,5$ см.

Подставим известные значения в формулу:
$\alpha = \frac{3}{1,5}$

Вычисляем значение:
$\alpha = 2$

Таким образом, радианная мера угла составляет 2 радиана.

Ответ: 2 радиана.

930. Дуге кругового сектора соответствует угол в $ \frac{3\pi}{4} $ рад. Найти площадь сектора, если радиус круга равен 1 см.

Для нахождения площади кругового сектора, когда его центральный угол задан в радианах, используется следующая формула:
$S = \frac{1}{2} r^2 \alpha$
где $S$ — это площадь сектора, $r$ — радиус круга, а $\alpha$ — центральный угол в радианах.

Согласно условию задачи, нам даны следующие значения:
Радиус круга $r = 1$ см.
Угол, соответствующий дуге сектора, $\alpha = \frac{3\pi}{4}$ рад.

Теперь подставим эти значения в формулу для площади сектора:
$S = \frac{1}{2} \cdot (1)^2 \cdot \frac{3\pi}{4}$

Выполним вычисление:
$S = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{3\pi}{4} = \frac{1 \cdot 3\pi}{2 \cdot 4} = \frac{3\pi}{8}$

Так как радиус был дан в сантиметрах, площадь сектора измеряется в квадратных сантиметрах.

Ответ: $\frac{3\pi}{8}$ см².

931. Радиус круга равен 2,5 см, а площадь кругового сектора равна 6,25 см². Найти угол, который соответствует дуге этого кругового сектора.

Для решения данной задачи воспользуемся формулой для вычисления площади кругового сектора. Площадь сектора $S$ можно найти, зная радиус круга $R$ и центральный угол сектора $\alpha$, выраженный в радианах. Формула имеет вид:
$S = \frac{1}{2} R^2 \alpha$

В условии задачи нам даны следующие значения:
Радиус круга $R = 2,5$ см.
Площадь кругового сектора $S = 6,25$ см².

Наша цель — найти угол $\alpha$. Для этого выразим его из формулы площади сектора:
$\alpha = \frac{2S}{R^2}$

Теперь подставим числовые значения в эту формулу. Сначала вычислим квадрат радиуса:
$R^2 = (2,5)^2 = 6,25$
Далее, подставляем $S$ и $R^2$ в формулу для $\alpha$:
$\alpha = \frac{2 \cdot 6,25 \text{ см}^2}{6,25 \text{ см}^2}$
Сокращая одинаковые множители в числителе и знаменателе, получаем:
$\alpha = 2$

Так как мы использовали формулу с углом в радианах, полученное значение также выражено в радианах. Если требуется выразить угол в градусах, можно использовать соотношение $\pi \text{ радиан} = 180^{\circ}$:
$\alpha_{\text{градусы}} = 2 \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} = \frac{360^{\circ}}{\pi} \approx 114,59^{\circ}$
Однако, поскольку ответ получается целым в радианах, принято оставлять его в этой форме.

Ответ: 2 радиана.