Страница 280 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

944. Найти координаты точки, полученной поворотом точки P(1; 0) на заданный угол $(k \in \mathbb{Z})$:

1) $\frac{\pi}{2} \pm \pi$;

2) $\frac{\pi}{4} \pm \pi$;

3) $-\frac{3\pi}{2} \pm \pi k$;

4) $-\pi + \pi k$.

Для нахождения координат точки, полученной поворотом начальной точки $P(1; 0)$ на заданный угол $\alpha$ вокруг начала координат, используются формулы тригонометрии на единичной окружности. Новые координаты $(x, y)$ точки будут равны $x = \cos(\alpha)$ и $y = \sin(\alpha)$.

1) $\frac{\pi}{2} \pm \pi$

В данном случае угол поворота $\alpha$ может принимать два значения:
а) $\alpha_1 = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$
б) $\alpha_2 = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}$
Найдем координаты для каждого случая.
Для $\alpha_1 = \frac{3\pi}{2}$:
$x_1 = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$
$y_1 = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$
Координаты точки: $(0; -1)$.
Для $\alpha_2 = -\frac{\pi}{2}$:
$x_2 = \cos(-\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$
$y_2 = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$
Координаты точки также $(0; -1)$.
Таким образом, в обоих случаях результатом является одна и та же точка.
Ответ: $(0; -1)$.

2) $\frac{\pi}{4} \pm \pi$

Угол поворота $\alpha$ может принимать два значения:
а) $\alpha_1 = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$
б) $\alpha_2 = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}$
Найдем координаты для каждого случая.
Для $\alpha_1 = \frac{5\pi}{4}$:
$x_1 = \cos(\frac{5\pi}{4}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$y_1 = \sin(\frac{5\pi}{4}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Координаты точки: $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Для $\alpha_2 = -\frac{3\pi}{4}$:
$x_2 = \cos(-\frac{3\pi}{4}) = \cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$y_2 = \sin(-\frac{3\pi}{4}) = -\sin(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Координаты точки также $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.
В обоих случаях результатом является одна и та же точка.
Ответ: $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

3) $-\frac{3\pi}{2} \pm \pi k$

Задана серия углов $\alpha_k = -\frac{3\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Знак $\pm$ перед $\pi k$ не создает нового множества углов, так как $k$ пробегает все целые числа, положительные и отрицательные. Рассмотрим два случая в зависимости от четности $k$.
Случай 1: $k$ — четное число.
Пусть $k = 2n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Угол $\alpha = -\frac{3\pi}{2} + 2\pi n$. Эти углы соответствуют на единичной окружности той же точке, что и угол $-\frac{3\pi}{2}$ (или $\frac{\pi}{2}$).
$x = \cos(-\frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$
$y = \sin(-\frac{3\pi}{2}) = -\sin(\frac{3\pi}{2}) = -(-1) = 1$
Координаты точки: $(0; 1)$.
Случай 2: $k$ — нечетное число.
Пусть $k = 2n + 1$, где $n \in \mathbb{Z}$. Угол $\alpha = -\frac{3\pi}{2} + (2n+1)\pi = -\frac{3\pi}{2} + \pi + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Эти углы соответствуют на единичной окружности той же точке, что и угол $-\frac{\pi}{2}$.
$x = \cos(-\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$
$y = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$
Координаты точки: $(0; -1)$.
В результате поворота на заданные углы могут быть получены две точки.
Ответ: $(0; 1)$ и $(0; -1)$.

4) $-\pi + \pi k$

Задана серия углов $\alpha_k = -\pi + \pi k = \pi(k-1)$, где $k \in \mathbb{Z}$. Рассмотрим два случая в зависимости от четности $k$.
Случай 1: $k$ — нечетное число.
Пусть $k = 2n+1$, где $n \in \mathbb{Z}$. Тогда $k-1 = 2n$, и угол $\alpha = 2\pi n$.
$x = \cos(2\pi n) = 1$
$y = \sin(2\pi n) = 0$
Координаты точки: $(1; 0)$. Это исходная точка $P$.
Случай 2: $k$ — четное число.
Пусть $k = 2n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Тогда $k-1 = 2n-1$, и угол $\alpha = (2n-1)\pi$. Это нечетное кратное $\pi$.
$x = \cos((2n-1)\pi) = -1$
$y = \sin((2n-1)\pi) = 0$
Координаты точки: $(-1; 0)$.
В результате поворота на заданные углы могут быть получены две точки.
Ответ: $(1; 0)$ и $(-1; 0)$.

945. Найти все углы, на которые нужно повернуть точку $P(1; 0)$, чтобы получить точку с координатами:

1) $(1; 0)$;

2) $(-1; 0)$;

3) $(0; 1)$;

4) $(0; -1)$.

Поворот точки $P(x_0; y_0)$ на угол $\alpha$ вокруг начала координат приводит к новой точке $P'(x; y)$, координаты которой определяются по формулам:

$x = x_0 \cos\alpha - y_0 \sin\alpha$

$y = x_0 \sin\alpha + y_0 \cos\alpha$

В нашем случае исходная точка — $P(1; 0)$, то есть $x_0=1$ и $y_0=0$. Подставив эти значения в формулы, получаем:

$x = 1 \cdot \cos\alpha - 0 \cdot \sin\alpha = \cos\alpha$

$y = 1 \cdot \sin\alpha + 0 \cdot \cos\alpha = \sin\alpha$

Таким образом, после поворота точки $P(1; 0)$ на угол $\alpha$ мы получаем точку $P'$ с координатами $(\cos\alpha; \sin\alpha)$. Теперь найдем углы $\alpha$ для каждого из заданных случаев.

1) (1; 0)

Чтобы получить точку с координатами $(1; 0)$, должны выполняться следующие условия:

$\cos\alpha = 1$

$\sin\alpha = 0$

Эта система уравнений имеет решение, когда угол $\alpha$ является кратным $2\pi$. Это соответствует полному обороту (или нескольким полным оборотам) или нулевому повороту.

Ответ: $\alpha = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) (-1; 0)

Чтобы получить точку с координатами $(-1; 0)$, должны выполняться следующие условия:

$\cos\alpha = -1$

$\sin\alpha = 0$

Эта система уравнений имеет решение, когда угол $\alpha$ равен $\pi$ плюс любое целое число полных оборотов. Это соответствует повороту на 180 градусов.

Ответ: $\alpha = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3) (0; 1)

Чтобы получить точку с координатами $(0; 1)$, должны выполняться следующие условия:

$\cos\alpha = 0$

$\sin\alpha = 1$

Эта система уравнений имеет решение, когда угол $\alpha$ равен $\frac{\pi}{2}$ плюс любое целое число полных оборотов. Это соответствует повороту на 90 градусов против часовой стрелки.

Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4) (0; -1)

Чтобы получить точку с координатами $(0; -1)$, должны выполняться следующие условия:

$\cos\alpha = 0$

$\sin\alpha = -1$

Эта система уравнений имеет решение, когда угол $\alpha$ равен $\frac{3\pi}{2}$ плюс любое целое число полных оборотов. Это соответствует повороту на 270 градусов против часовой стрелки (или на 90 градусов по часовой стрелке).

Ответ: $\alpha = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (или $\alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$).

946. Определить четверть, в которой расположена точка, полученная поворотом точки $P(1; 0)$ на угол:

1) $1$;

2) $2,75$;

3) $3,16$;

4) $4,95$.

Для определения четверти, в которой расположена точка, полученная поворотом точки $P(1; 0)$ на угол $\alpha$ (заданный в радианах), нужно сравнить величину угла $\alpha$ с границами четвертей на единичной окружности. Границы четвертей определяются следующими значениями:

• I четверть: от $0$ до $\frac{\pi}{2}$
• II четверть: от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$
• III четверть: от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$
• IV четверть: от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$

Для практических расчетов будем использовать приближенные значения: $\pi \approx 3,14159$. Тогда граничные значения будут:

• $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14159}{2} \approx 1,57$
• $\pi \approx 3,14159$
• $\frac{3\pi}{2} \approx \frac{3 \times 3,14159}{2} \approx 4,71$
• $2\pi \approx 2 \times 3,14159 \approx 6,28$

Теперь определим четверть для каждого заданного угла.

Угол равен $1$ радиан. Сравниваем это значение с границами четвертей. Поскольку $0 < 1 < 1,57$, что соответствует неравенству $0 < 1 < \frac{\pi}{2}$, точка находится в первой четверти.
Ответ: I четверть.

Угол равен $2,75$ радиан. Сравниваем это значение с границами. Поскольку $1,57 < 2,75 < 3,14159$, что соответствует неравенству $\frac{\pi}{2} < 2,75 < \pi$, точка находится во второй четверти.
Ответ: II четверть.

Угол равен $3,16$ радиан. Сравниваем это значение с границами. Поскольку $3,14159 < 3,16 < 4,71$, что соответствует неравенству $\pi < 3,16 < \frac{3\pi}{2}$, точка находится в третьей четверти.
Ответ: III четверть.

Угол равен $4,95$ радиан. Сравниваем это значение с границами. Поскольку $4,71 < 4,95 < 6,28$, что соответствует неравенству $\frac{3\pi}{2} < 4,95 < 2\pi$, точка находится в четвертой четверти.
Ответ: IV четверть.

947. Найти число $x$, где $0 \leq x < 2\pi$, и натуральное число $k$, такие, чтобы выполнялось равенство $a = x + 2\pi k$, если:

1) $a = 9,8\pi$;

2) $a = 7\frac{1}{3}\pi$;

3) $a = \frac{11}{2}\pi$;

4) $a = \frac{17}{3}\pi$.

Общая задача состоит в том, чтобы для заданного числа $a$ найти число $x$ и натуральное число $k$, удовлетворяющие равенству $a = x + 2\pi k$ при условии $0 \le x < 2\pi$.

Из равенства следует, что $x = a - 2\pi k$. Подставив это в неравенство, получим $0 \le a - 2\pi k < 2\pi$. Решим это неравенство относительно $k$:

$2\pi k \le a \implies k \le \frac{a}{2\pi}$

$a - 2\pi < 2\pi k \implies \frac{a}{2\pi} - 1 < k$

Таким образом, для натурального числа $k$ должно выполняться условие: $\frac{a}{2\pi} - 1 < k \le \frac{a}{2\pi}$.

Дано $a = 9,8\pi$. Найдем соответствующее $k$.

Сначала вычислим $\frac{a}{2\pi} = \frac{9,8\pi}{2\pi} = 4,9$.

Подставим это значение в неравенство для $k$: $4,9 - 1 < k \le 4,9$, что дает $3,9 < k \le 4,9$.

Единственное натуральное число $k$, удовлетворяющее этому условию, — это $k=4$.

Теперь найдем $x$: $x = a - 2\pi k = 9,8\pi - 2\pi \cdot 4 = 9,8\pi - 8\pi = 1,8\pi$.

Проверка: $0 \le 1,8\pi < 2\pi$. Условие выполняется.

Ответ: $x = 1,8\pi$, $k = 4$.

Дано $a = 7\frac{1}{3}\pi = \frac{22}{3}\pi$. Найдем соответствующее $k$.

Сначала вычислим $\frac{a}{2\pi} = \frac{\frac{22}{3}\pi}{2\pi} = \frac{22}{6} = \frac{11}{3}$.

Подставим это значение в неравенство для $k$: $\frac{11}{3} - 1 < k \le \frac{11}{3}$, что дает $\frac{8}{3} < k \le \frac{11}{3}$.

В десятичном виде: $2,66... < k \le 3,66...$. Единственное натуральное число $k$ в этом интервале — это $k=3$.

Теперь найдем $x$: $x = a - 2\pi k = \frac{22}{3}\pi - 2\pi \cdot 3 = \frac{22}{3}\pi - 6\pi = \frac{22\pi - 18\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.

Проверка: $0 \le \frac{4\pi}{3} < 2\pi$. Условие выполняется.

Ответ: $x = \frac{4\pi}{3}$, $k = 3$.

Дано $a = \frac{11}{2}\pi$. Найдем соответствующее $k$.

Сначала вычислим $\frac{a}{2\pi} = \frac{\frac{11}{2}\pi}{2\pi} = \frac{11}{4} = 2,75$.

Подставим это значение в неравенство для $k$: $2,75 - 1 < k \le 2,75$, что дает $1,75 < k \le 2,75$.

Единственное натуральное число $k$ в этом интервале — это $k=2$.

Теперь найдем $x$: $x = a - 2\pi k = \frac{11}{2}\pi - 2\pi \cdot 2 = \frac{11}{2}\pi - 4\pi = \frac{11\pi - 8\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$.

Проверка: $0 \le \frac{3\pi}{2} < 2\pi$. Условие выполняется.

Ответ: $x = \frac{3\pi}{2}$, $k = 2$.

Дано $a = \frac{17}{3}\pi$. Найдем соответствующее $k$.

Сначала вычислим $\frac{a}{2\pi} = \frac{\frac{17}{3}\pi}{2\pi} = \frac{17}{6}$.

Подставим это значение в неравенство для $k$: $\frac{17}{6} - 1 < k \le \frac{17}{6}$, что дает $\frac{11}{6} < k \le \frac{17}{6}$.

В десятичном виде: $1,83... < k \le 2,83...$. Единственное натуральное число $k$ в этом интервале — это $k=2$.

Теперь найдем $x$: $x = a - 2\pi k = \frac{17}{3}\pi - 2\pi \cdot 2 = \frac{17}{3}\pi - 4\pi = \frac{17\pi - 12\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$.

Проверка: $0 \le \frac{5\pi}{3} < 2\pi$. Условие выполняется.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{3}$, $k = 2$.

948. На единичной окружности построить точку, полученную поворотом точки P(1; 0) на угол:

1) $4,5\pi$;

2) $5,5\pi$;

3) $-6\pi$;

4) $-7\pi$.

Для построения точки на единичной окружности, полученной поворотом начальной точки $P(1; 0)$ на заданный угол $\alpha$, необходимо определить конечное положение. Положение точки на единичной окружности определяется её координатами $(x, y)$, где $x = \cos(\alpha)$ и $y = \sin(\alpha)$. Поскольку полный оборот составляет $2\pi$ радиан, мы можем упростить углы, добавляя или вычитая целое число полных оборотов ($2k\pi$, где $k$ — целое число), чтобы найти эквивалентный угол в более удобном для анализа диапазоне, например от $0$ до $2\pi$.

1) 4,5π

Рассмотрим угол поворота $\alpha = 4,5\pi$. Положительное значение угла означает поворот против часовой стрелки. Чтобы найти конечное положение, мы можем отбросить полные обороты. Представим угол в виде: $4,5\pi = 4\pi + 0,5\pi = 2 \cdot (2\pi) + \frac{\pi}{2}$. Это означает, что точка совершает два полных оборота, возвращаясь в исходное положение $P(1; 0)$, а затем поворачивается еще на угол $\frac{\pi}{2}$. Поворот из точки $(1; 0)$ на угол $\frac{\pi}{2}$ против часовой стрелки приводит в верхнюю точку единичной окружности. Координаты этой точки: $x = \cos(4,5\pi) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ $y = \sin(4,5\pi) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ Следовательно, искомая точка — это $P'(0; 1)$.

Ответ: Точка, полученная поворотом на угол $4,5\pi$, является верхней точкой единичной окружности и имеет координаты $(0; 1)$.

2) 5,5π

Рассмотрим угол поворота $\alpha = 5,5\pi$. Поворот происходит против часовой стрелки. Упростим угол, выделив полные обороты: $5,5\pi = 4\pi + 1,5\pi = 2 \cdot (2\pi) + \frac{3\pi}{2}$. Поворот на $5,5\pi$ эквивалентен повороту на $\frac{3\pi}{2}$, так как $4\pi$ — это два полных оборота. Поворот начальной точки $P(1; 0)$ на угол $\frac{3\pi}{2}$ против часовой стрелки перемещает её в нижнюю точку единичной окружности. Координаты этой точки: $x = \cos(5,5\pi) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$ $y = \sin(5,5\pi) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$ Следовательно, искомая точка — это $P'(0; -1)$.

Ответ: Точка, полученная поворотом на угол $5,5\pi$, является нижней точкой единичной окружности и имеет координаты $(0; -1)$.

3) -6π

Рассмотрим угол поворота $\alpha = -6\pi$. Отрицательное значение угла означает поворот по часовой стрелке. Угол $-6\pi$ можно представить как: $-6\pi = -3 \cdot (2\pi)$. Это соответствует трем полным оборотам по часовой стрелке. Каждый полный оборот возвращает точку в её начальное положение $P(1; 0)$. Таким образом, после поворота на $-6\pi$ точка останется в исходном положении. Координаты этой точки: $x = \cos(-6\pi) = \cos(0) = 1$ $y = \sin(-6\pi) = \sin(0) = 0$ Искомая точка совпадает с начальной точкой $P(1; 0)$.

Ответ: Точка, полученная поворотом на угол $-6\pi$, совпадает с начальной точкой $P(1; 0)$ и имеет координаты $(1; 0)$.

4) -7π

Рассмотрим угол поворота $\alpha = -7\pi$. Поворот происходит по часовой стрелке. Упростим угол: $-7\pi = -6\pi - \pi = -3 \cdot (2\pi) - \pi$. Поворот на $-7\pi$ эквивалентен повороту на $-\pi$, так как $-6\pi$ — это три полных оборота. Поворот на угол $-\pi$ (то есть на $\pi$ по часовой стрелке) из точки $(1; 0)$ перемещает ее в диаметрально противоположную точку на окружности. Это крайняя левая точка единичной окружности. Координаты этой точки: $x = \cos(-7\pi) = \cos(-\pi) = \cos(\pi) = -1$ $y = \sin(-7\pi) = \sin(-\pi) = -\sin(\pi) = 0$ Следовательно, искомая точка — это $P'(-1; 0)$.

Ответ: Точка, полученная поворотом на угол $-7\pi$, является крайней левой точкой единичной окружности и имеет координаты $(-1; 0)$.

949. Найти координаты точки, полученной поворотом точки $P(1; 0)$ на заданный угол ($k \in Z$):

1) $-\frac{3\pi}{2} + 2\pi k$;

2) $\frac{5\pi}{2} + 2\pi k$;

3) $\frac{7\pi}{2} + 2\pi k$;

4) $-\frac{9\pi}{2} + 2\pi k$.

Для нахождения координат точки, полученной поворотом начальной точки $P(1; 0)$ на угол $\alpha$, используются формулы $x = \cos(\alpha)$ и $y = \sin(\alpha)$. Точка $P(1; 0)$ является начальной точкой на единичной окружности, соответствующей углу $0$ радиан. Поворот на угол $\alpha$ перемещает эту точку в новое положение $(x, y)$.

Слагаемое $2\pi k$ в угле поворота (где $k$ — целое число) означает совершение $k$ полных оборотов по $360^\circ$ ($2\pi$ радиан). Поскольку полный оборот возвращает точку в исходное положение, это слагаемое не влияет на конечные координаты. Таким образом, $\cos(\alpha + 2\pi k) = \cos(\alpha)$ и $\sin(\alpha + 2\pi k) = \sin(\alpha)$.

1) $-\frac{3\pi}{2} + 2\pi k$

Для нахождения координат новой точки $P'$ вычислим косинус и синус угла $\alpha = -\frac{3\pi}{2}$.

$x = \cos(-\frac{3\pi}{2})$

$y = \sin(-\frac{3\pi}{2})$

Используем свойства тригонометрических функций: $\cos(-t) = \cos(t)$ (четная функция) и $\sin(-t) = -\sin(t)$ (нечетная функция).

$x = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$

$y = -\sin(\frac{3\pi}{2}) = -(-1) = 1$

Альтернативно, можно привести угол к положительному значению в пределах одного оборота: $-\frac{3\pi}{2} + 2\pi = \frac{\pi}{2}$.

$x = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

$y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

Координаты точки: $(0; 1)$.

Ответ: $(0; 1)$.

2) $\frac{5\pi}{2} + 2\pi k$

Вычислим косинус и синус угла $\alpha = \frac{5\pi}{2}$. Упростим угол, выделив целое число оборотов:

$\frac{5\pi}{2} = \frac{4\pi + \pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$

Поскольку $2\pi$ — это полный оборот, мы можем его отбросить.

$x = \cos(\frac{5\pi}{2}) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

$y = \sin(\frac{5\pi}{2}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

Координаты точки: $(0; 1)$.

Ответ: $(0; 1)$.

3) $\frac{7\pi}{2} + 2\pi k$

Вычислим косинус и синус угла $\alpha = \frac{7\pi}{2}$. Упростим угол:

$\frac{7\pi}{2} = \frac{4\pi + 3\pi}{2} = 2\pi + \frac{3\pi}{2}$

Отбросив полный оборот $2\pi$, получим угол $\frac{3\pi}{2}$.

$x = \cos(\frac{7\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$

$y = \sin(\frac{7\pi}{2}) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$

Координаты точки: $(0; -1)$.

Ответ: $(0; -1)$.

4) $-\frac{9\pi}{2} + 2\pi k$

Вычислим косинус и синус угла $\alpha = -\frac{9\pi}{2}$.

$x = \cos(-\frac{9\pi}{2}) = \cos(\frac{9\pi}{2})$

$y = \sin(-\frac{9\pi}{2}) = -\sin(\frac{9\pi}{2})$

Упростим угол $\frac{9\pi}{2}$, выделив целое число оборотов:

$\frac{9\pi}{2} = \frac{8\pi + \pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2} = 2 \cdot (2\pi) + \frac{\pi}{2}$

Отбросив два полных оборота $4\pi$, получим угол $\frac{\pi}{2}$.

$x = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

$y = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$

Координаты точки: $(0; -1)$.

Ответ: $(0; -1)$.

950. Записать все углы, на которые нужно повернуть точку $P(1; 0)$, чтобы получить точку с координатами:

1) $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$

2) $(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2})$

При повороте точки $P(1; 0)$ на угол $\alpha$ вокруг начала координат её новые координаты $(x'; y')$ определяются как $x' = \cos(\alpha)$ и $y' = \sin(\alpha)$, поскольку точка $P$ находится на единичной окружности (расстояние от начала координат до точки равно 1). Задача сводится к нахождению всех углов $\alpha$, для которых значения косинуса и синуса соответствуют заданным координатам.

1) Требуется найти все углы $\alpha$, чтобы получить точку с координатами $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$. Это означает, что мы должны решить систему уравнений:
$\cos(\alpha) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin(\alpha) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Так как и косинус, и синус имеют отрицательные значения, угол $\alpha$ находится в третьей координатной четверти. Основной угол (в диапазоне от $0$ до $2\pi$), который удовлетворяет этим условиям, — это $\alpha = \frac{5\pi}{4}$. Поскольку тригонометрические функции являются периодическими с периодом $2\pi$, все возможные углы можно найти, прибавляя к основному углу целое число полных оборотов ($2\pi k$).
Ответ: $\frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) Требуется найти все углы $\alpha$, чтобы получить точку с координатами $(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2})$. Это означает, что мы должны решить систему уравнений:
$\cos(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin(\alpha) = -\frac{1}{2}$
Оба значения также отрицательны, что соответствует углу в третьей координатной четверти. Основной угол, для которого косинус равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$, а синус равен $-\frac{1}{2}$, — это $\alpha = \frac{7\pi}{6}$. Учитывая периодичность, общая формула для всех таких углов имеет вид: $\alpha = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.
Ответ: $\frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

951. Из множества углов, выраженных формулой $\alpha = \frac{\pi}{6}(6k - 1)$, где $k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$, найти:

1) наименьший положительный угол;

2) наименьший по модулю угол.

1) наименьший положительный угол; Дана формула для множества углов: $\alpha = \frac{\pi}{6}(6k - 1)$, где $k$ — целое число ($k = 0, \pm 1, \pm 2, ...$). Чтобы найти наименьший положительный угол, необходимо найти наименьшее целое значение $k$, при котором $\alpha$ будет положительным ($\alpha > 0$). Так как множитель $\frac{\pi}{6}$ является положительным, знак угла $\alpha$ зависит от знака выражения $(6k - 1)$. Следовательно, нам нужно решить неравенство: $6k - 1 > 0$ $6k > 1$ $k > \frac{1}{6}$ Наименьшее целое число $k$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $k = 1$. Теперь подставим это значение $k$ в исходную формулу, чтобы найти искомый угол: $\alpha = \frac{\pi}{6}(6 \cdot 1 - 1) = \frac{\pi}{6}(6 - 1) = \frac{\pi}{6} \cdot 5 = \frac{5\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{6}$

2) наименьший по модулю угол. Чтобы найти наименьший по модулю угол, необходимо найти значение $k$, при котором абсолютная величина (модуль) угла $|\alpha|$ будет минимальной. Модуль угла равен: $|\alpha| = |\frac{\pi}{6}(6k - 1)| = |\frac{\pi}{6}| \cdot |6k - 1| = \frac{\pi}{6}|6k - 1|$. Для того чтобы $|\alpha|$ было минимальным, нужно минимизировать значение выражения $|6k - 1|$. Это выражение обращается в ноль при $k=\frac{1}{6}$, но $k$ должно быть целым числом. Поэтому мы должны найти целое $k$, при котором значение $6k-1$ будет наиболее близким к нулю. Рассмотрим два целых числа, ближайших к $\frac{1}{6}$: $k=0$ и $k=1$. При $k = 0$: $6k - 1 = 6(0) - 1 = -1$. Модуль этого значения: $|-1| = 1$. При $k = 1$: $6k - 1 = 6(1) - 1 = 5$. Модуль этого значения: $|5| = 5$. Наименьшее значение модуля $|6k - 1|$ равно 1 и достигается при $k = 0$. Теперь найдем соответствующий этому значению $k$ угол $\alpha$: $\alpha = \frac{\pi}{6}(6 \cdot 0 - 1) = \frac{\pi}{6}(-1) = -\frac{\pi}{6}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{6}$

952. Каждый из следующих углов представить в виде суммы $360^{\circ}k+\alpha$, где $k \in \mathbf{Z}$ и $\alpha$ — неотрицательный угол, меньший $360^{\circ}$:

1) $450^{\circ}$;

2) $1100^{\circ}$;

3) $-700^{\circ}$;

4) $-90^{\circ}$;

5) $1440^{\circ}$;

6) $-1760^{\circ}$.

Цель состоит в том, чтобы представить каждый угол $\beta$ в виде суммы $360^\circ k + \alpha$, где $k$ — целое число ($k \in \mathbb{Z}$), а $\alpha$ — неотрицательный угол, удовлетворяющий условию $0^\circ \le \alpha < 360^\circ$.

Для этого необходимо разделить исходный угол на $360^\circ$. Целая часть от деления с недостатком (округление вниз до ближайшего целого) даст нам значение $k$. Остаток от этого деления будет искомым углом $\alpha$.

Формулы для вычисления: $k = \lfloor \frac{\beta}{360^\circ} \rfloor$
$\alpha = \beta - 360^\circ \cdot k$

1) 450°

Чтобы найти $k$ и $\alpha$, разделим $450^\circ$ на $360^\circ$:
$\frac{450}{360} = 1 \frac{90}{360} = 1.25$.
Целая часть от деления равна 1, так что $k=1$.
Остаток $\alpha$ равен: $450^\circ - 360^\circ \cdot 1 = 90^\circ$.
Проверяем: $k=1$ — целое число, и $0^\circ \le 90^\circ < 360^\circ$.
Следовательно, $450^\circ = 360^\circ \cdot 1 + 90^\circ$.
Ответ: $450^\circ = 360^\circ \cdot 1 + 90^\circ$.

2) 1100°

Разделим $1100^\circ$ на $360^\circ$:
$\frac{1100}{360} = 3 \frac{20}{360} \approx 3.055$.
Целая часть от деления равна 3, так что $k=3$.
Остаток $\alpha$ равен: $1100^\circ - 360^\circ \cdot 3 = 1100^\circ - 1080^\circ = 20^\circ$.
Проверяем: $k=3$ — целое число, и $0^\circ \le 20^\circ < 360^\circ$.
Следовательно, $1100^\circ = 360^\circ \cdot 3 + 20^\circ$.
Ответ: $1100^\circ = 360^\circ \cdot 3 + 20^\circ$.

3) -700°

Разделим $-700^\circ$ на $360^\circ$:
$\frac{-700}{360} \approx -1.944$.
Берем целую часть с недостатком (округляем вниз): $k = \lfloor -1.944 \rfloor = -2$.
Теперь находим $\alpha$: $\alpha = -700^\circ - 360^\circ \cdot (-2) = -700^\circ + 720^\circ = 20^\circ$.
Проверяем: $k=-2$ — целое число, и $0^\circ \le 20^\circ < 360^\circ$.
Следовательно, $-700^\circ = 360^\circ \cdot (-2) + 20^\circ$.
Ответ: $-700^\circ = 360^\circ \cdot (-2) + 20^\circ$.

4) -90°

Разделим $-90^\circ$ на $360^\circ$:
$\frac{-90}{360} = -0.25$.
Берем целую часть с недостатком: $k = \lfloor -0.25 \rfloor = -1$.
Находим $\alpha$: $\alpha = -90^\circ - 360^\circ \cdot (-1) = -90^\circ + 360^\circ = 270^\circ$.
Проверяем: $k=-1$ — целое число, и $0^\circ \le 270^\circ < 360^\circ$.
Следовательно, $-90^\circ = 360^\circ \cdot (-1) + 270^\circ$.
Ответ: $-90^\circ = 360^\circ \cdot (-1) + 270^\circ$.

5) 1440°

Разделим $1440^\circ$ на $360^\circ$:
$\frac{1440}{360} = 4$.
Деление происходит нацело. Это значит, что $k=4$, а остаток $\alpha=0^\circ$.
Проверяем: $k=4$ — целое число, и $0^\circ \le 0^\circ < 360^\circ$.
Следовательно, $1440^\circ = 360^\circ \cdot 4 + 0^\circ$.
Ответ: $1440^\circ = 360^\circ \cdot 4 + 0^\circ$.

6) -1760°

Разделим $-1760^\circ$ на $360^\circ$:
$\frac{-1760}{360} \approx -4.888$.
Берем целую часть с недостатком: $k = \lfloor -4.888 \rfloor = -5$.
Находим $\alpha$: $\alpha = -1760^\circ - 360^\circ \cdot (-5) = -1760^\circ + 1800^\circ = 40^\circ$.
Проверяем: $k=-5$ — целое число, и $0^\circ \le 40^\circ < 360^\circ$.
Следовательно, $-1760^\circ = 360^\circ \cdot (-5) + 40^\circ$.
Ответ: $-1760^\circ = 360^\circ \cdot (-5) + 40^\circ$.

953. Две точки $A$ и $B$, находящиеся на противоположных концах диаметра, начинают двигаться по окружности в одном направлении. Точка $A$ в каждую минуту описывает дугу в $60^\circ$, точка $B$ — дугу в $48^\circ$. Через сколько минут после начала движения произойдёт первое; второе; $k$-е совпадение точек?

Для решения задачи введем угловые скорости точек A и B. Пусть $v_A$ — угловая скорость точки A, а $v_B$ — угловая скорость точки B. Из условия имеем: $v_A = 60^\circ$ в минуту. $v_B = 48^\circ$ в минуту.

Точки начинают движение из противоположных концов диаметра, что означает, что начальное угловое расстояние между ними составляет $180^\circ$. Они движутся в одном направлении. Поскольку $v_A > v_B$, точка A будет догонять точку B.

Относительная скорость, с которой точка A догоняет точку B, равна разности их скоростей: $v_{отн} = v_A - v_B = 60^\circ/\text{мин} - 48^\circ/\text{мин} = 12^\circ/\text{мин}$. Это значит, что каждую минуту расстояние (угол) между точкой A и точкой B сокращается на $12^\circ$.

первое;

Первое совпадение произойдет, когда точка A полностью сократит начальное отставание в $180^\circ$. Время $t_1$, необходимое для этого, можно рассчитать, разделив начальное угловое расстояние на относительную скорость: $t_1 = \frac{180^\circ}{v_{отн}} = \frac{180^\circ}{12^\circ/\text{мин}} = 15$ минут.

Ответ: через 15 минут.

второе;

После первого совпадения точки находятся в одном месте. Для того чтобы они встретились во второй раз, более быстрая точка A должна опередить точку B на полный круг, то есть на $360^\circ$. Время $\Delta t$, которое для этого потребуется, — это период между совпадениями. $\Delta t = \frac{360^\circ}{v_{отн}} = \frac{360^\circ}{12^\circ/\text{мин}} = 30$ минут. Следовательно, время второго совпадения $t_2$ равно времени первого совпадения плюс этот интервал времени: $t_2 = t_1 + \Delta t = 15 \text{ минут} + 30 \text{ минут} = 45$ минут.

Ответ: через 45 минут.

k-e

Время $k$-го совпадения можно найти, используя общую формулу. Первое совпадение происходит через 15 минут, а каждое последующее — через 30 минут. Это формирует арифметическую прогрессию, где первый член $t_1 = 15$, а разность $d = 30$. Время $k$-й встречи $t_k$ можно найти по формуле: $t_k = t_1 + (k-1)d$ Подставим наши значения: $t_k = 15 + (k-1) \cdot 30 = 15 + 30k - 30 = 30k - 15$ минут. Эту формулу можно также представить в виде: $t_k = 15(2k-1)$ минут, где $k$ — номер встречи ($k = 1, 2, 3, \ldots$).

Ответ: через $15(2k-1)$ минут.