Номер 948, страница 280 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

948. На единичной окружности построить точку, полученную поворотом точки P(1; 0) на угол:

1) $4,5\pi$;

2) $5,5\pi$;

3) $-6\pi$;

4) $-7\pi$.

Для построения точки на единичной окружности, полученной поворотом начальной точки $P(1; 0)$ на заданный угол $\alpha$, необходимо определить конечное положение. Положение точки на единичной окружности определяется её координатами $(x, y)$, где $x = \cos(\alpha)$ и $y = \sin(\alpha)$. Поскольку полный оборот составляет $2\pi$ радиан, мы можем упростить углы, добавляя или вычитая целое число полных оборотов ($2k\pi$, где $k$ — целое число), чтобы найти эквивалентный угол в более удобном для анализа диапазоне, например от $0$ до $2\pi$.

1) 4,5π

Рассмотрим угол поворота $\alpha = 4,5\pi$. Положительное значение угла означает поворот против часовой стрелки. Чтобы найти конечное положение, мы можем отбросить полные обороты. Представим угол в виде: $4,5\pi = 4\pi + 0,5\pi = 2 \cdot (2\pi) + \frac{\pi}{2}$. Это означает, что точка совершает два полных оборота, возвращаясь в исходное положение $P(1; 0)$, а затем поворачивается еще на угол $\frac{\pi}{2}$. Поворот из точки $(1; 0)$ на угол $\frac{\pi}{2}$ против часовой стрелки приводит в верхнюю точку единичной окружности. Координаты этой точки: $x = \cos(4,5\pi) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ $y = \sin(4,5\pi) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ Следовательно, искомая точка — это $P'(0; 1)$.

Ответ: Точка, полученная поворотом на угол $4,5\pi$, является верхней точкой единичной окружности и имеет координаты $(0; 1)$.

2) 5,5π

Рассмотрим угол поворота $\alpha = 5,5\pi$. Поворот происходит против часовой стрелки. Упростим угол, выделив полные обороты: $5,5\pi = 4\pi + 1,5\pi = 2 \cdot (2\pi) + \frac{3\pi}{2}$. Поворот на $5,5\pi$ эквивалентен повороту на $\frac{3\pi}{2}$, так как $4\pi$ — это два полных оборота. Поворот начальной точки $P(1; 0)$ на угол $\frac{3\pi}{2}$ против часовой стрелки перемещает её в нижнюю точку единичной окружности. Координаты этой точки: $x = \cos(5,5\pi) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$ $y = \sin(5,5\pi) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$ Следовательно, искомая точка — это $P'(0; -1)$.

Ответ: Точка, полученная поворотом на угол $5,5\pi$, является нижней точкой единичной окружности и имеет координаты $(0; -1)$.

3) -6π

Рассмотрим угол поворота $\alpha = -6\pi$. Отрицательное значение угла означает поворот по часовой стрелке. Угол $-6\pi$ можно представить как: $-6\pi = -3 \cdot (2\pi)$. Это соответствует трем полным оборотам по часовой стрелке. Каждый полный оборот возвращает точку в её начальное положение $P(1; 0)$. Таким образом, после поворота на $-6\pi$ точка останется в исходном положении. Координаты этой точки: $x = \cos(-6\pi) = \cos(0) = 1$ $y = \sin(-6\pi) = \sin(0) = 0$ Искомая точка совпадает с начальной точкой $P(1; 0)$.

Ответ: Точка, полученная поворотом на угол $-6\pi$, совпадает с начальной точкой $P(1; 0)$ и имеет координаты $(1; 0)$.

4) -7π

Рассмотрим угол поворота $\alpha = -7\pi$. Поворот происходит по часовой стрелке. Упростим угол: $-7\pi = -6\pi - \pi = -3 \cdot (2\pi) - \pi$. Поворот на $-7\pi$ эквивалентен повороту на $-\pi$, так как $-6\pi$ — это три полных оборота. Поворот на угол $-\pi$ (то есть на $\pi$ по часовой стрелке) из точки $(1; 0)$ перемещает ее в диаметрально противоположную точку на окружности. Это крайняя левая точка единичной окружности. Координаты этой точки: $x = \cos(-7\pi) = \cos(-\pi) = \cos(\pi) = -1$ $y = \sin(-7\pi) = \sin(-\pi) = -\sin(\pi) = 0$ Следовательно, искомая точка — это $P'(-1; 0)$.

Ответ: Точка, полученная поворотом на угол $-7\pi$, является крайней левой точкой единичной окружности и имеет координаты $(-1; 0)$.