Номер 945, страница 280 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

945. Найти все углы, на которые нужно повернуть точку $P(1; 0)$, чтобы получить точку с координатами:

1) $(1; 0)$;

2) $(-1; 0)$;

3) $(0; 1)$;

4) $(0; -1)$.

Поворот точки $P(x_0; y_0)$ на угол $\alpha$ вокруг начала координат приводит к новой точке $P'(x; y)$, координаты которой определяются по формулам:

$x = x_0 \cos\alpha - y_0 \sin\alpha$

$y = x_0 \sin\alpha + y_0 \cos\alpha$

В нашем случае исходная точка — $P(1; 0)$, то есть $x_0=1$ и $y_0=0$. Подставив эти значения в формулы, получаем:

$x = 1 \cdot \cos\alpha - 0 \cdot \sin\alpha = \cos\alpha$

$y = 1 \cdot \sin\alpha + 0 \cdot \cos\alpha = \sin\alpha$

Таким образом, после поворота точки $P(1; 0)$ на угол $\alpha$ мы получаем точку $P'$ с координатами $(\cos\alpha; \sin\alpha)$. Теперь найдем углы $\alpha$ для каждого из заданных случаев.

1) (1; 0)

Чтобы получить точку с координатами $(1; 0)$, должны выполняться следующие условия:

$\cos\alpha = 1$

$\sin\alpha = 0$

Эта система уравнений имеет решение, когда угол $\alpha$ является кратным $2\pi$. Это соответствует полному обороту (или нескольким полным оборотам) или нулевому повороту.

Ответ: $\alpha = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) (-1; 0)

Чтобы получить точку с координатами $(-1; 0)$, должны выполняться следующие условия:

$\cos\alpha = -1$

$\sin\alpha = 0$

Эта система уравнений имеет решение, когда угол $\alpha$ равен $\pi$ плюс любое целое число полных оборотов. Это соответствует повороту на 180 градусов.

Ответ: $\alpha = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3) (0; 1)

Чтобы получить точку с координатами $(0; 1)$, должны выполняться следующие условия:

$\cos\alpha = 0$

$\sin\alpha = 1$

Эта система уравнений имеет решение, когда угол $\alpha$ равен $\frac{\pi}{2}$ плюс любое целое число полных оборотов. Это соответствует повороту на 90 градусов против часовой стрелки.

Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4) (0; -1)

Чтобы получить точку с координатами $(0; -1)$, должны выполняться следующие условия:

$\cos\alpha = 0$

$\sin\alpha = -1$

Эта система уравнений имеет решение, когда угол $\alpha$ равен $\frac{3\pi}{2}$ плюс любое целое число полных оборотов. Это соответствует повороту на 270 градусов против часовой стрелки (или на 90 градусов по часовой стрелке).

Ответ: $\alpha = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (или $\alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$).