Номер 943, страница 279 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

943. Найти координаты точки, полученной поворотом точки P(1; 0) на заданный угол ($k \in Z$):

1) $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k$

2) $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$

3) $\frac{3\pi}{2} + 2\pi k$

4) $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Для нахождения координат точки, полученной поворотом точки $P(1; 0)$ на заданный угол $\alpha$, используется единичная окружность. Координаты новой точки $P'$ будут $(x'; y')$, где $x' = \cos(\alpha)$ и $y' = \sin(\alpha)$.

Слагаемое $2\pi k$ в каждом из углов означает целое число полных оборотов, которые не меняют конечное положение точки на окружности. Поэтому для вычислений мы можем его опустить, так как $\cos(\alpha + 2\pi k) = \cos(\alpha)$ и $\sin(\alpha + 2\pi k) = \sin(\alpha)$ для любого целого $k$.

1) $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Пусть угол поворота $\alpha = -\frac{\pi}{2}$. Найдем координаты новой точки $(x'; y')$:

$x' = \cos(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = \cos(-\frac{\pi}{2})$
$y' = \sin(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = \sin(-\frac{\pi}{2})$

Используя свойства тригонометрических функций $\cos(-x) = \cos(x)$ и $\sin(-x) = -\sin(x)$, получаем:

$x' = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$
$y' = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$

Таким образом, координаты полученной точки (0; -1).

Ответ: $(0; -1)$

2) $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Пусть угол поворота $\alpha = \frac{\pi}{2}$. Найдем координаты новой точки $(x'; y')$:

$x' = \cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$
$y' = \sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

Таким образом, координаты полученной точки (0; 1).

Ответ: $(0; 1)$

3) $\frac{3\pi}{2} + 2\pi k$

Пусть угол поворота $\alpha = \frac{3\pi}{2}$. Найдем координаты новой точки $(x'; y')$:

$x' = \cos(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$
$y' = \sin(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$

Таким образом, координаты полученной точки (0; -1).

Ответ: $(0; -1)$

4) $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Этот случай полностью совпадает с первым пунктом. Пусть угол поворота $\alpha = -\frac{\pi}{2}$. Координаты новой точки $(x'; y')$:

$x' = \cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$
$y' = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$

Таким образом, координаты полученной точки (0; -1).

Ответ: $(0; -1)$