Номер 936, страница 275 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

936. В равнобедренном треугольнике угол при вершине в 2,5 раза меньше угла при основании. Выразить углы треугольника в градусной и радианной мерах.

Пусть угол при основании равнобедренного треугольника равен $ \alpha $. Поскольку в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то в треугольнике есть два угла, равных $ \alpha $.

Пусть угол при вершине, противолежащей основанию, равен $ \beta $. Согласно условию задачи, угол при вершине в 2,5 раза меньше угла при основании. Это можно записать в виде формулы:

$ \beta = \frac{\alpha}{2.5} $

Сумма углов в любом треугольнике составляет $ 180^\circ $. Для нашего треугольника это означает:

$ \alpha + \alpha + \beta = 180^\circ $

$ 2\alpha + \beta = 180^\circ $

Теперь подставим выражение для $ \beta $ из первого уравнения во второе:

$ 2\alpha + \frac{\alpha}{2.5} = 180^\circ $

Чтобы решить это уравнение, избавимся от дроби. Представим 2,5 как обыкновенную дробь $ 2.5 = \frac{5}{2} $:

$ 2\alpha + \frac{\alpha}{\frac{5}{2}} = 180^\circ $

$ 2\alpha + \frac{2\alpha}{5} = 180^\circ $

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$ \frac{10\alpha}{5} + \frac{2\alpha}{5} = 180^\circ $

$ \frac{12\alpha}{5} = 180^\circ $

Теперь найдем $ \alpha $:

$ 12\alpha = 180^\circ \cdot 5 $

$ 12\alpha = 900^\circ $

$ \alpha = \frac{900^\circ}{12} = 75^\circ $

Итак, каждый из углов при основании равен $ 75^\circ $.

Теперь найдем угол при вершине $ \beta $:

$ \beta = \frac{\alpha}{2.5} = \frac{75^\circ}{2.5} = 30^\circ $

Проверим: сумма углов $ 75^\circ + 75^\circ + 30^\circ = 180^\circ $. Условие выполняется.

Таким образом, углы треугольника в градусной мере равны $ 75^\circ, 75^\circ $ и $ 30^\circ $.

Далее выразим эти углы в радианной мере. Для перевода градусов в радианы используется формула:

$ \text{радианы} = \text{градусы} \cdot \frac{\pi}{180} $

Переведем угол $ 75^\circ $:

$ 75^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{75\pi}{180} = \frac{5 \cdot 15 \cdot \pi}{12 \cdot 15} = \frac{5\pi}{12} $

Переведем угол $ 30^\circ $:

$ 30^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{30\pi}{180} = \frac{\pi}{6} $

Таким образом, углы треугольника в радианной мере равны $ \frac{5\pi}{12} $, $ \frac{5\pi}{12} $ и $ \frac{\pi}{6} $.

Ответ: углы треугольника в градусной мере: $ 75^\circ, 75^\circ, 30^\circ $; углы треугольника в радианной мере: $ \frac{5\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{\pi}{6} $.