Номер 942, страница 279 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

942. Найти координаты точки, полученной поворотом точки $P(1; 0)$ на заданный угол:

1) $3\pi$;

2) $-\frac{7}{2}\pi$;

3) $-\frac{15}{2}\pi$;

4) $5\pi$;

5) $540^{\circ}$;

6) $810^{\circ}$.

Координаты точки, полученной поворотом точки $P(x; y)$ на угол $\alpha$ вокруг начала координат, находятся по формулам:

$x' = x \cos \alpha - y \sin \alpha$

$y' = x \sin \alpha + y \cos \alpha$

В нашем случае исходная точка $P(1; 0)$, поэтому $x = 1$ и $y = 0$. Подставив эти значения в формулы, получаем:

$x' = 1 \cdot \cos \alpha - 0 \cdot \sin \alpha = \cos \alpha$

$y' = 1 \cdot \sin \alpha + 0 \cdot \cos \alpha = \sin \alpha$

Таким образом, для каждого заданного угла $\alpha$ нам нужно найти значения $\cos \alpha$ и $\sin \alpha$, которые и будут координатами новой точки $P'(\cos \alpha; \sin \alpha)$.

1) $3\pi$

Находим координаты для угла $\alpha = 3\pi$. Используя периодичность тригонометрических функций (период $2\pi$):

$3\pi = \pi + 2\pi$

$x' = \cos(3\pi) = \cos(\pi + 2\pi) = \cos(\pi) = -1$

$y' = \sin(3\pi) = \sin(\pi + 2\pi) = \sin(\pi) = 0$

Координаты новой точки: $(-1; 0)$.

Ответ: $(-1; 0)$.

2) $-\frac{7}{2}\pi$

Находим координаты для угла $\alpha = -\frac{7}{2}\pi$. Прибавим к углу два полных оборота ($4\pi$), чтобы получить угол в привычном диапазоне:

$\alpha' = -\frac{7}{2}\pi + 4\pi = -\frac{7\pi}{2} + \frac{8\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$

$x' = \cos(-\frac{7}{2}\pi) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

$y' = \sin(-\frac{7}{2}\pi) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

Координаты новой точки: $(0; 1)$.

Ответ: $(0; 1)$.

3) $-\frac{15}{2}\pi$

Находим координаты для угла $\alpha = -\frac{15}{2}\pi$. Прибавим к углу четыре полных оборота ($8\pi$):

$\alpha' = -\frac{15}{2}\pi + 8\pi = -\frac{15\pi}{2} + \frac{16\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$

$x' = \cos(-\frac{15}{2}\pi) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

$y' = \sin(-\frac{15}{2}\pi) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

Координаты новой точки: $(0; 1)$.

Ответ: $(0; 1)$.

4) $5\pi$

Находим координаты для угла $\alpha = 5\pi$. Используя периодичность:

$5\pi = \pi + 4\pi = \pi + 2 \cdot (2\pi)$

$x' = \cos(5\pi) = \cos(\pi) = -1$

$y' = \sin(5\pi) = \sin(\pi) = 0$

Координаты новой точки: $(-1; 0)$.

Ответ: $(-1; 0)$.

5) $540^\circ$

Находим координаты для угла $\alpha = 540^\circ$. Уберем полный оборот $360^\circ$:

$540^\circ = 180^\circ + 360^\circ$

$x' = \cos(540^\circ) = \cos(180^\circ) = -1$

$y' = \sin(540^\circ) = \sin(180^\circ) = 0$

Координаты новой точки: $(-1; 0)$.

Ответ: $(-1; 0)$.

6) $810^\circ$

Находим координаты для угла $\alpha = 810^\circ$. Уберем два полных оборота ($2 \cdot 360^\circ = 720^\circ$):

$810^\circ = 90^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 90^\circ + 720^\circ$

$x' = \cos(810^\circ) = \cos(90^\circ) = 0$

$y' = \sin(810^\circ) = \sin(90^\circ) = 1$

Координаты новой точки: $(0; 1)$.

Ответ: $(0; 1)$.