Номер 939, страница 279 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

На единичной окружности построить точку, полученную поворотом точки (1; 0) на заданный угол (939-941).

939. 1) $\frac{\pi}{4}$; 2) $-\frac{\pi}{3}$; 3) $-\frac{3}{4}\pi$; 4) $\frac{4\pi}{3}$; 5) $-\frac{5}{4}\pi$; 6) $-225^\circ$

Задача состоит в том, чтобы найти на единичной окружности точку, в которую перейдет начальная точка $P_0(1; 0)$ при повороте на заданный угол $\alpha$. Координаты новой точки $P_\alpha$ определяются как $(\cos \alpha, \sin \alpha)$. Положительный угол означает поворот против часовой стрелки, а отрицательный — по часовой стрелке.

1) Задан угол $\alpha = \frac{\pi}{4}$.
Это положительный угол, поэтому поворот осуществляется против часовой стрелки. В градусах это $\frac{180^\circ}{4} = 45^\circ$. Точка будет расположена в первой координатной четверти.
Найдем ее координаты: $x = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$y = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Искомая точка имеет координаты $(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$. Она является серединой дуги, соединяющей точки $(1; 0)$ и $(0; 1)$.
Ответ: Координаты точки $(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.

2) Задан угол $\alpha = -\frac{\pi}{3}$.
Это отрицательный угол, поэтому поворот осуществляется по часовой стрелке. В градусах это $-60^\circ$. Точка будет расположена в четвертой координатной четверти.
Найдем ее координаты, используя свойства четности и нечетности тригонометрических функций: $x = \cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
$y = \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Искомая точка имеет координаты $(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Ответ: Координаты точки $(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

3) Задан угол $\alpha = -\frac{3\pi}{4}$.
Это отрицательный угол, поворот — по часовой стрелке. В градусах это $-135^\circ$. Точка будет расположена в третьей координатной четверти.
Найдем ее координаты: $x = \cos(-\frac{3\pi}{4}) = \cos(\frac{3\pi}{4}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$y = \sin(-\frac{3\pi}{4}) = -\sin(\frac{3\pi}{4}) = -\sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Искомая точка имеет координаты $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$. Она лежит на биссектрисе третьего координатного угла.
Ответ: Координаты точки $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

4) Задан угол $\alpha = \frac{4\pi}{3}$.
Это положительный угол, поворот — против часовой стрелки. В градусах это $\frac{4 \cdot 180^\circ}{3} = 240^\circ$. Точка будет расположена в третьей координатной четверти.
Найдем ее координаты: $x = \cos(\frac{4\pi}{3}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$
$y = \sin(\frac{4\pi}{3}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Искомая точка имеет координаты $(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Ответ: Координаты точки $(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

5) Задан угол $\alpha = -\frac{5\pi}{4}$.
Это отрицательный угол, поворот — по часовой стрелке. В градусах это $-\frac{5 \cdot 180^\circ}{4} = -225^\circ$. Точка будет расположена во второй координатной четверти.
Найдем ее координаты: $x = \cos(-\frac{5\pi}{4}) = \cos(\frac{5\pi}{4}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$y = \sin(-\frac{5\pi}{4}) = -\sin(\frac{5\pi}{4}) = -\sin(\pi + \frac{\pi}{4}) = -(-\sin(\frac{\pi}{4})) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Искомая точка имеет координаты $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$. Она лежит на биссектрисе второго координатного угла.
Ответ: Координаты точки $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.

6) Задан угол $\alpha = -225^\circ$.
Это отрицательный угол, поворот — по часовой стрелке. Точка будет расположена во второй координатной четверти. Заметим, что $-225^\circ$ соответствует углу $-\frac{5\pi}{4}$ радиан из предыдущего пункта.
Найдем ее координаты: $x = \cos(-225^\circ) = \cos(225^\circ) = \cos(180^\circ + 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$y = \sin(-225^\circ) = -\sin(225^\circ) = -\sin(180^\circ + 45^\circ) = -(-\sin(45^\circ)) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Искомая точка имеет координаты $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.
Ответ: Координаты точки $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.