Номер 941, страница 279 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

941. 1) $\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$;

2) $-\frac{3}{2}\pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

1)

Данное выражение $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$, представляет собой бесконечное множество углов.

Для того чтобы понять, каким точкам на единичной окружности они соответствуют, рассмотрим несколько частных случаев, подставляя различные целые значения $k$:

• При $k=0$, получаем $x = \frac{3\pi}{2}$.
• При $k=1$, получаем $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi = \frac{7\pi}{2}$.
• При $k=-1$, получаем $x = \frac{3\pi}{2} - 2\pi = -\frac{\pi}{2}$.

Все эти углы являются котерминальными, то есть при откладывании от начального луча они указывают на одну и ту же точку на единичной окружности. Эта точка — самая нижняя точка окружности, её декартовы координаты $(0, -1)$.

Теперь определим, решением какого простейшего тригонометрического уравнения является данная серия углов.

Для точки $(0, -1)$ значения основных тригонометрических функций следующие:

$\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$

$\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$

Рассмотрим уравнение $\sin(x) = -1$. Его единственное решение на отрезке $[0, 2\pi)$ это $x = \frac{3\pi}{2}$. Учитывая, что период функции $y=\sin(x)$ равен $2\pi$, общее решение уравнения записывается в виде $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Это полностью совпадает с выражением из условия.

Для сравнения, уравнение $\cos(x) = 0$ имеет общее решение $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$, которое описывает две точки на окружности $(0, 1)$ и $(0, -1)$, а не одну.

Таким образом, данное выражение является записью множества всех точек минимума функции $y=\sin(x)$ или, что то же самое, множеством всех корней уравнения $\sin(x) = -1$.

Ответ: Данное выражение является множеством решений уравнения $\sin(x) = -1$.

2)

Рассмотрим выражение $x = -\frac{3}{2}\pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Это выражение эквивалентно записи $x = -\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Для удобства анализа найдем наименьший неотрицательный угол, котерминальный с углом $-\frac{3\pi}{2}$. Для этого прибавим $2\pi$ (полный оборот):

$-\frac{3\pi}{2} + 2\pi = \frac{-3\pi + 4\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.

Следовательно, данное множество углов можно записать в более привычном виде: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Все углы этого множества соответствуют одной точке на единичной окружности — самой верхней, с декартовыми координатами $(0, 1)$.

Определим, решением какого простейшего тригонометрического уравнения является данная серия углов.

Для точки $(0, 1)$ значения основных тригонометрических функций следующие:

$\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

$\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

Рассмотрим уравнение $\sin(x) = 1$. Его единственное решение на отрезке $[0, 2\pi)$ это $x = \frac{\pi}{2}$. Так как период синуса равен $2\pi$, общее решение уравнения имеет вид $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Это полностью совпадает с нашим упрощенным выражением.

Таким образом, данное выражение является записью множества всех точек максимума функции $y=\sin(x)$ или, что то же самое, множеством всех корней уравнения $\sin(x) = 1$.

Ответ: Данное выражение является множеством решений уравнения $\sin(x) = 1$.