Номер 947, страница 280 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

947. Найти число $x$, где $0 \leq x < 2\pi$, и натуральное число $k$, такие, чтобы выполнялось равенство $a = x + 2\pi k$, если:

1) $a = 9,8\pi$;

2) $a = 7\frac{1}{3}\pi$;

3) $a = \frac{11}{2}\pi$;

4) $a = \frac{17}{3}\pi$.

Общая задача состоит в том, чтобы для заданного числа $a$ найти число $x$ и натуральное число $k$, удовлетворяющие равенству $a = x + 2\pi k$ при условии $0 \le x < 2\pi$.

Из равенства следует, что $x = a - 2\pi k$. Подставив это в неравенство, получим $0 \le a - 2\pi k < 2\pi$. Решим это неравенство относительно $k$:

$2\pi k \le a \implies k \le \frac{a}{2\pi}$

$a - 2\pi < 2\pi k \implies \frac{a}{2\pi} - 1 < k$

Таким образом, для натурального числа $k$ должно выполняться условие: $\frac{a}{2\pi} - 1 < k \le \frac{a}{2\pi}$.

Дано $a = 9,8\pi$. Найдем соответствующее $k$.

Сначала вычислим $\frac{a}{2\pi} = \frac{9,8\pi}{2\pi} = 4,9$.

Подставим это значение в неравенство для $k$: $4,9 - 1 < k \le 4,9$, что дает $3,9 < k \le 4,9$.

Единственное натуральное число $k$, удовлетворяющее этому условию, — это $k=4$.

Теперь найдем $x$: $x = a - 2\pi k = 9,8\pi - 2\pi \cdot 4 = 9,8\pi - 8\pi = 1,8\pi$.

Проверка: $0 \le 1,8\pi < 2\pi$. Условие выполняется.

Ответ: $x = 1,8\pi$, $k = 4$.

Дано $a = 7\frac{1}{3}\pi = \frac{22}{3}\pi$. Найдем соответствующее $k$.

Сначала вычислим $\frac{a}{2\pi} = \frac{\frac{22}{3}\pi}{2\pi} = \frac{22}{6} = \frac{11}{3}$.

Подставим это значение в неравенство для $k$: $\frac{11}{3} - 1 < k \le \frac{11}{3}$, что дает $\frac{8}{3} < k \le \frac{11}{3}$.

В десятичном виде: $2,66... < k \le 3,66...$. Единственное натуральное число $k$ в этом интервале — это $k=3$.

Теперь найдем $x$: $x = a - 2\pi k = \frac{22}{3}\pi - 2\pi \cdot 3 = \frac{22}{3}\pi - 6\pi = \frac{22\pi - 18\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.

Проверка: $0 \le \frac{4\pi}{3} < 2\pi$. Условие выполняется.

Ответ: $x = \frac{4\pi}{3}$, $k = 3$.

Дано $a = \frac{11}{2}\pi$. Найдем соответствующее $k$.

Сначала вычислим $\frac{a}{2\pi} = \frac{\frac{11}{2}\pi}{2\pi} = \frac{11}{4} = 2,75$.

Подставим это значение в неравенство для $k$: $2,75 - 1 < k \le 2,75$, что дает $1,75 < k \le 2,75$.

Единственное натуральное число $k$ в этом интервале — это $k=2$.

Теперь найдем $x$: $x = a - 2\pi k = \frac{11}{2}\pi - 2\pi \cdot 2 = \frac{11}{2}\pi - 4\pi = \frac{11\pi - 8\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$.

Проверка: $0 \le \frac{3\pi}{2} < 2\pi$. Условие выполняется.

Ответ: $x = \frac{3\pi}{2}$, $k = 2$.

Дано $a = \frac{17}{3}\pi$. Найдем соответствующее $k$.

Сначала вычислим $\frac{a}{2\pi} = \frac{\frac{17}{3}\pi}{2\pi} = \frac{17}{6}$.

Подставим это значение в неравенство для $k$: $\frac{17}{6} - 1 < k \le \frac{17}{6}$, что дает $\frac{11}{6} < k \le \frac{17}{6}$.

В десятичном виде: $1,83... < k \le 2,83...$. Единственное натуральное число $k$ в этом интервале — это $k=2$.

Теперь найдем $x$: $x = a - 2\pi k = \frac{17}{3}\pi - 2\pi \cdot 2 = \frac{17}{3}\pi - 4\pi = \frac{17\pi - 12\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$.

Проверка: $0 \le \frac{5\pi}{3} < 2\pi$. Условие выполняется.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{3}$, $k = 2$.