Номер 951, страница 280 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

951. Из множества углов, выраженных формулой $\alpha = \frac{\pi}{6}(6k - 1)$, где $k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$, найти:

1) наименьший положительный угол;

2) наименьший по модулю угол.

1) наименьший положительный угол; Дана формула для множества углов: $\alpha = \frac{\pi}{6}(6k - 1)$, где $k$ — целое число ($k = 0, \pm 1, \pm 2, ...$). Чтобы найти наименьший положительный угол, необходимо найти наименьшее целое значение $k$, при котором $\alpha$ будет положительным ($\alpha > 0$). Так как множитель $\frac{\pi}{6}$ является положительным, знак угла $\alpha$ зависит от знака выражения $(6k - 1)$. Следовательно, нам нужно решить неравенство: $6k - 1 > 0$ $6k > 1$ $k > \frac{1}{6}$ Наименьшее целое число $k$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $k = 1$. Теперь подставим это значение $k$ в исходную формулу, чтобы найти искомый угол: $\alpha = \frac{\pi}{6}(6 \cdot 1 - 1) = \frac{\pi}{6}(6 - 1) = \frac{\pi}{6} \cdot 5 = \frac{5\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{6}$

2) наименьший по модулю угол. Чтобы найти наименьший по модулю угол, необходимо найти значение $k$, при котором абсолютная величина (модуль) угла $|\alpha|$ будет минимальной. Модуль угла равен: $|\alpha| = |\frac{\pi}{6}(6k - 1)| = |\frac{\pi}{6}| \cdot |6k - 1| = \frac{\pi}{6}|6k - 1|$. Для того чтобы $|\alpha|$ было минимальным, нужно минимизировать значение выражения $|6k - 1|$. Это выражение обращается в ноль при $k=\frac{1}{6}$, но $k$ должно быть целым числом. Поэтому мы должны найти целое $k$, при котором значение $6k-1$ будет наиболее близким к нулю. Рассмотрим два целых числа, ближайших к $\frac{1}{6}$: $k=0$ и $k=1$. При $k = 0$: $6k - 1 = 6(0) - 1 = -1$. Модуль этого значения: $|-1| = 1$. При $k = 1$: $6k - 1 = 6(1) - 1 = 5$. Модуль этого значения: $|5| = 5$. Наименьшее значение модуля $|6k - 1|$ равно 1 и достигается при $k = 0$. Теперь найдем соответствующий этому значению $k$ угол $\alpha$: $\alpha = \frac{\pi}{6}(6 \cdot 0 - 1) = \frac{\pi}{6}(-1) = -\frac{\pi}{6}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{6}$