Номер 957, страница 283 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

957. Отметить на единичной окружности точки, соответствующие числу $\alpha$, если:

1) $sin \alpha = 1$;
2) $sin \alpha = 0$;
3) $cos \alpha = -1$;
4) $cos \alpha = 0$;
5) $sin \alpha = -0,6$;
6) $sin \alpha = 0,5$;
7) $cos \alpha = \frac{1}{3}$.

Для решения задачи воспользуемся определением синуса и косинуса через единичную окружность. Единичная окружность — это окружность с радиусом 1, с центром в начале координат (0,0). Для любой точки $P(x, y)$ на этой окружности, соответствующей углу $\alpha$, ее координаты равны $x = \cos \alpha$ и $y = \sin \alpha$.

1) $\sin \alpha = 1$

Значение $\sin \alpha$ — это ордината (координата $y$) точки на единичной окружности. Следовательно, нам нужно найти точку с ординатой $y=1$. На единичной окружности такая точка только одна — это самая верхняя точка, расположенная на положительной части оси $Oy$.

Ответ: Искомая точка — это точка пересечения единичной окружности с положительной полуосью $Oy$. Её координаты $(0, 1)$.

2) $\sin \alpha = 0$

Нам нужно найти точки с ординатой $y=0$. Такие точки лежат на оси абсцисс $Ox$. Единичная окружность пересекает ось $Ox$ в двух точках.

Ответ: Искомые точки — это точки пересечения единичной окружности с осью $Ox$. Их координаты $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

3) $\cos \alpha = -1$

Значение $\cos \alpha$ — это абсцисса (координата $x$) точки на единичной окружности. Нам нужно найти точку с абсциссой $x=-1$. На единичной окружности такая точка только одна — это самая левая точка, расположенная на отрицательной части оси $Ox$.

Ответ: Искомая точка — это точка пересечения единичной окружности с отрицательной полуосью $Ox$. Её координаты $(-1, 0)$.

4) $\cos \alpha = 0$

Нам нужно найти точки с абсциссой $x=0$. Такие точки лежат на оси ординат $Oy$. Единичная окружность пересекает ось $Oy$ в двух точках.

Ответ: Искомые точки — это точки пересечения единичной окружности с осью $Oy$. Их координаты $(0, 1)$ и $(0, -1)$.

5) $\sin \alpha = -0,6$

Чтобы найти искомые точки, нужно найти пересечения единичной окружности с горизонтальной прямой $y = -0,6$. Поскольку $-1 < -0,6 < 1$, прямая пересечет окружность в двух точках. Эти точки будут находиться ниже оси $Ox$ и будут симметричны относительно оси $Oy$. Одна точка будет в III координатной четверти, а другая — в IV.

Ответ: Искомые точки — это точки пересечения единичной окружности и прямой $y = -0,6$. Одна точка находится в III четверти, другая — в IV четверти.

6) $\sin \alpha = 0,5$

Чтобы найти искомые точки, нужно найти пересечения единичной окружности с горизонтальной прямой $y = 0,5$. Поскольку $-1 < 0,5 < 1$, прямая пересечет окружность в двух точках. Эти точки будут находиться выше оси $Ox$ и будут симметричны относительно оси $Oy$. Одна точка, соответствующая углу $\alpha = \frac{\pi}{6}$, находится в I координатной четверти, а другая, соответствующая углу $\alpha = \frac{5\pi}{6}$, — во II четверти.

Ответ: Искомые точки — это точки пересечения единичной окружности и прямой $y = 0,5$. Одна точка находится в I четверти, другая — во II четверти.

7) $\cos \alpha = \frac{1}{3}$

Чтобы найти искомые точки, нужно найти пересечения единичной окружности с вертикальной прямой $x = \frac{1}{3}$. Поскольку $-1 < \frac{1}{3} < 1$, прямая пересечет окружность в двух точках. Эти точки будут находиться правее оси $Oy$ и будут симметричны относительно оси $Ox$. Одна точка будет в I координатной четверти, а другая — в IV четверти.

Ответ: Искомые точки — это точки пересечения единичной окружности и прямой $x = \frac{1}{3}$. Одна точка находится в I четверти, другая — в IV четверти.