Номер 959, страница 283 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

958. Найти значения синуса и косинуса числа $\beta$, если:

1) $\beta = 3\pi$;

2) $\beta = 4\pi$;

3) $\beta = 3,5\pi$;

4) $\beta = \frac{5}{2}\pi$;

5) $\beta = \pi k, k \in \mathbf{Z}$;

6) $\beta = (2k + 1)\pi, k \in \mathbf{Z}$.

1) $\beta = 3\pi;$

Для нахождения значений синуса и косинуса воспользуемся свойством периодичности тригонометрических функций. Период функций синуса и косинуса равен $2\pi$, что означает $\sin(x + 2\pi n) = \sin(x)$ и $\cos(x + 2\pi n) = \cos(x)$ для любого целого $n$.
Представим угол $\beta = 3\pi$ в виде $\beta = 2\pi + \pi$. Отбросив полный период $2\pi$, получим:
$\sin(3\pi) = \sin(2\pi + \pi) = \sin(\pi) = 0$.
$\cos(3\pi) = \cos(2\pi + \pi) = \cos(\pi) = -1$.
Точка, соответствующая углу $3\pi$ на единичной окружности, имеет координаты $(-1, 0)$.

Ответ: $\sin(3\pi) = 0, \cos(3\pi) = -1$.

2) $\beta = 4\pi;$

Угол $\beta = 4\pi$ является кратным периоду $2\pi$, так как $4\pi = 2 \cdot 2\pi$. Это соответствует двум полным оборотам на единичной окружности, возвращая точку в исходное положение, соответствующее углу $0$.
$\sin(4\pi) = \sin(2 \cdot 2\pi) = \sin(0) = 0$.
$\cos(4\pi) = \cos(2 \cdot 2\pi) = \cos(0) = 1$.
Точка, соответствующая углу $4\pi$ на единичной окружности, имеет координаты $(1, 0)$.

Ответ: $\sin(4\pi) = 0, \cos(4\pi) = 1$.

3) $\beta = 3,5\pi;$

Представим угол $\beta = 3,5\pi$ в виде $\beta = \frac{7}{2}\pi$. Используя периодичность, вычтем полный оборот $2\pi$:
$\frac{7}{2}\pi = \frac{4\pi + 3\pi}{2} = 2\pi + \frac{3\pi}{2}$.
Таким образом:
$\sin(3,5\pi) = \sin(2\pi + \frac{3\pi}{2}) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$.
$\cos(3,5\pi) = \cos(2\pi + \frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$.
Точка, соответствующая углу $3,5\pi$ на единичной окружности, имеет координаты $(0, -1)$.

Ответ: $\sin(3,5\pi) = -1, \cos(3,5\pi) = 0$.

4) $\beta = \frac{5}{2}\pi;$

Представим угол $\beta = \frac{5}{2}\pi$ с выделением целого числа периодов $2\pi$:
$\frac{5}{2}\pi = \frac{4\pi + \pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$.
Используя периодичность, получаем:
$\sin(\frac{5}{2}\pi) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
$\cos(\frac{5}{2}\pi) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Точка, соответствующая углу $\frac{5}{2}\pi$ на единичной окружности, имеет координаты $(0, 1)$.

Ответ: $\sin(\frac{5}{2}\pi) = 1, \cos(\frac{5}{2}\pi) = 0$.

5) $\beta = \pi k, k \in \mathbb{Z};$

Здесь $\beta = \pi k$, где $k$ - любое целое число. Рассмотрим два случая в зависимости от четности $k$.
Случай 1: $k$ - четное число. Пусть $k = 2n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Тогда $\beta = 2n\pi$. Эти углы соответствуют точке $(1, 0)$ на единичной окружности. Следовательно:
$\sin(2n\pi) = 0$
$\cos(2n\pi) = 1$
Случай 2: $k$ - нечетное число. Пусть $k = 2n + 1$, где $n \in \mathbb{Z}$. Тогда $\beta = (2n + 1)\pi$. Эти углы соответствуют точке $(-1, 0)$ на единичной окружности. Следовательно:
$\sin((2n+1)\pi) = 0$
$\cos((2n+1)\pi) = -1$
Объединяя оба случая, получаем, что $\sin(\pi k) = 0$ для любого целого $k$. Значение косинуса равно $1$ для четных $k$ и $-1$ для нечетных $k$. Это можно записать одной формулой: $\cos(\pi k) = (-1)^k$.

Ответ: $\sin(\pi k) = 0, \cos(\pi k) = (-1)^k$ для $k \in \mathbb{Z}$.

6) $\beta = (2k + 1)\pi, k \in \mathbb{Z}.$

Здесь $\beta = (2k + 1)\pi$, где $k$ - любое целое число. Выражение $(2k+1)$ задает любое нечетное целое число. Таким образом, этот случай является частным случаем предыдущего пункта (когда $k$ нечетно).
Угол $\beta = (2k + 1)\pi = 2k\pi + \pi$ всегда соответствует точке $(-1, 0)$ на единичной окружности после совершения $k$ полных оборотов и поворота на $\pi$.
Следовательно:
$\sin((2k+1)\pi) = \sin(\pi) = 0$.
$\cos((2k+1)\pi) = \cos(\pi) = -1$.

Ответ: $\sin((2k+1)\pi) = 0, \cos((2k+1)\pi) = -1$ для $k \in \mathbb{Z}$.