Номер 954, страница 281 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

противоположных концах диаметра, начинают двигаться по

окружности в одном направлении.

Точка А в каждую минуту описывает дугу в $60^\circ$, точка В — дугу в

$48^\circ$. Через сколько минут после

начала движения произойдёт первое; второе; $k$-е совпадение точек?

954. Две точки А и В, находящиеся

на концах взаимно перпендикулярных диаметров окружности

(рис. 113), начинают одновременно двигаться по окружности: точка А — по часовой стрелке,

описывая каждую минуту дугу в $20^\circ$, точка В — против часовой стрелки, описывая каждую минуту дугу в $25^\circ$. Через

сколько минут произойдёт первое; второе; $k$-е совпадение

точек?

Для решения задачи введем систему координат с центром в точке O, как показано на рисунке. Угловое положение точек будем отсчитывать от положительного направления оси x против часовой стрелки. Вся окружность составляет $360^\circ$.

Начальные положения точек в момент времени $t=0$:

• Точка A находится на оси x, ее начальное угловое положение $\alpha_A(0) = 0^\circ$.
• Точка B находится на оси y, ее начальное угловое положение $\alpha_B(0) = 90^\circ$.

Скорости движения точек:

• Точка A движется по часовой стрелке, описывая дугу $20^\circ$ в минуту. Ее угловая скорость $\omega_A = -20^\circ/\text{мин}$ (знак минус, так как движение по часовой стрелке противоположно принятому положительному направлению).
• Точка B движется против часовой стрелки, описывая дугу $25^\circ$ в минуту. Ее угловая скорость $\omega_B = 25^\circ/\text{мин}$.

Угловое положение каждой точки в произвольный момент времени t (в минутах) определяется по формуле $\alpha(t) = \alpha(0) + \omega t$:

• Для точки A: $\alpha_A(t) = 0^\circ + (-20^\circ/\text{мин}) \cdot t = -20t$
• Для точки B: $\alpha_B(t) = 90^\circ + (25^\circ/\text{мин}) \cdot t = 90 + 25t$

Совпадение (встреча) точек произойдет, когда их угловые положения станут равными. Так как движение происходит по окружности, их положения совпадают, если разница их углов кратна полному обороту ($360^\circ$). Запишем условие совпадения:

$\alpha_B(t) = \alpha_A(t) + n \cdot 360^\circ$, где n — любое целое число.

Подставим выражения для положений точек в это уравнение:

$90 + 25t = -20t + n \cdot 360$

Перенесем слагаемые с t в левую часть, а постоянные — в правую:

$25t + 20t = n \cdot 360 - 90$

$45t = n \cdot 360 - 90$

Разделим обе части уравнения на 45, чтобы выразить t:

$t = \frac{n \cdot 360}{45} - \frac{90}{45}$

$t = 8n - 2$

Время движения t должно быть положительным ($t > 0$). Найдем, при каких целых n это условие выполняется:

$8n - 2 > 0 \implies 8n > 2 \implies n > \frac{1}{4}$

Поскольку n — целое число, его наименьшее возможное значение, удовлетворяющее этому условию, равно 1. Таким образом, последовательные совпадения будут происходить при $n = 1, 2, 3, \ldots$.

первое совпадение:

Первое совпадение соответствует наименьшему положительному значению времени t. Оно достигается при наименьшем возможном целом n, то есть при $n = 1$.

$t_1 = 8 \cdot 1 - 2 = 6$

Ответ: через 6 минут.

второе совпадение:

Второе совпадение соответствует следующему значению n, то есть $n = 2$.

$t_2 = 8 \cdot 2 - 2 = 16 - 2 = 14$

Ответ: через 14 минут.

k-е совпадение:

Аналогично, k-е по счету совпадение точек произойдет при $n = k$, где $k$ - натуральное число ($k = 1, 2, 3, \ldots$).

$t_k = 8k - 2$

Ответ: через $8k-2$ минут (где $k \in \mathbb{N}$).