Номер 952, страница 280 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

952. Каждый из следующих углов представить в виде суммы $360^{\circ}k+\alpha$, где $k \in \mathbf{Z}$ и $\alpha$ — неотрицательный угол, меньший $360^{\circ}$:

1) $450^{\circ}$;

2) $1100^{\circ}$;

3) $-700^{\circ}$;

4) $-90^{\circ}$;

5) $1440^{\circ}$;

6) $-1760^{\circ}$.

Цель состоит в том, чтобы представить каждый угол $\beta$ в виде суммы $360^\circ k + \alpha$, где $k$ — целое число ($k \in \mathbb{Z}$), а $\alpha$ — неотрицательный угол, удовлетворяющий условию $0^\circ \le \alpha < 360^\circ$.

Для этого необходимо разделить исходный угол на $360^\circ$. Целая часть от деления с недостатком (округление вниз до ближайшего целого) даст нам значение $k$. Остаток от этого деления будет искомым углом $\alpha$.

Формулы для вычисления: $k = \lfloor \frac{\beta}{360^\circ} \rfloor$
$\alpha = \beta - 360^\circ \cdot k$

1) 450°

Чтобы найти $k$ и $\alpha$, разделим $450^\circ$ на $360^\circ$:
$\frac{450}{360} = 1 \frac{90}{360} = 1.25$.
Целая часть от деления равна 1, так что $k=1$.
Остаток $\alpha$ равен: $450^\circ - 360^\circ \cdot 1 = 90^\circ$.
Проверяем: $k=1$ — целое число, и $0^\circ \le 90^\circ < 360^\circ$.
Следовательно, $450^\circ = 360^\circ \cdot 1 + 90^\circ$.
Ответ: $450^\circ = 360^\circ \cdot 1 + 90^\circ$.

2) 1100°

Разделим $1100^\circ$ на $360^\circ$:
$\frac{1100}{360} = 3 \frac{20}{360} \approx 3.055$.
Целая часть от деления равна 3, так что $k=3$.
Остаток $\alpha$ равен: $1100^\circ - 360^\circ \cdot 3 = 1100^\circ - 1080^\circ = 20^\circ$.
Проверяем: $k=3$ — целое число, и $0^\circ \le 20^\circ < 360^\circ$.
Следовательно, $1100^\circ = 360^\circ \cdot 3 + 20^\circ$.
Ответ: $1100^\circ = 360^\circ \cdot 3 + 20^\circ$.

3) -700°

Разделим $-700^\circ$ на $360^\circ$:
$\frac{-700}{360} \approx -1.944$.
Берем целую часть с недостатком (округляем вниз): $k = \lfloor -1.944 \rfloor = -2$.
Теперь находим $\alpha$: $\alpha = -700^\circ - 360^\circ \cdot (-2) = -700^\circ + 720^\circ = 20^\circ$.
Проверяем: $k=-2$ — целое число, и $0^\circ \le 20^\circ < 360^\circ$.
Следовательно, $-700^\circ = 360^\circ \cdot (-2) + 20^\circ$.
Ответ: $-700^\circ = 360^\circ \cdot (-2) + 20^\circ$.

4) -90°

Разделим $-90^\circ$ на $360^\circ$:
$\frac{-90}{360} = -0.25$.
Берем целую часть с недостатком: $k = \lfloor -0.25 \rfloor = -1$.
Находим $\alpha$: $\alpha = -90^\circ - 360^\circ \cdot (-1) = -90^\circ + 360^\circ = 270^\circ$.
Проверяем: $k=-1$ — целое число, и $0^\circ \le 270^\circ < 360^\circ$.
Следовательно, $-90^\circ = 360^\circ \cdot (-1) + 270^\circ$.
Ответ: $-90^\circ = 360^\circ \cdot (-1) + 270^\circ$.

5) 1440°

Разделим $1440^\circ$ на $360^\circ$:
$\frac{1440}{360} = 4$.
Деление происходит нацело. Это значит, что $k=4$, а остаток $\alpha=0^\circ$.
Проверяем: $k=4$ — целое число, и $0^\circ \le 0^\circ < 360^\circ$.
Следовательно, $1440^\circ = 360^\circ \cdot 4 + 0^\circ$.
Ответ: $1440^\circ = 360^\circ \cdot 4 + 0^\circ$.

6) -1760°

Разделим $-1760^\circ$ на $360^\circ$:
$\frac{-1760}{360} \approx -4.888$.
Берем целую часть с недостатком: $k = \lfloor -4.888 \rfloor = -5$.
Находим $\alpha$: $\alpha = -1760^\circ - 360^\circ \cdot (-5) = -1760^\circ + 1800^\circ = 40^\circ$.
Проверяем: $k=-5$ — целое число, и $0^\circ \le 40^\circ < 360^\circ$.
Следовательно, $-1760^\circ = 360^\circ \cdot (-5) + 40^\circ$.
Ответ: $-1760^\circ = 360^\circ \cdot (-5) + 40^\circ$.