Номер 950, страница 280 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

950. Записать все углы, на которые нужно повернуть точку $P(1; 0)$, чтобы получить точку с координатами:

1) $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$

2) $(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2})$

При повороте точки $P(1; 0)$ на угол $\alpha$ вокруг начала координат её новые координаты $(x'; y')$ определяются как $x' = \cos(\alpha)$ и $y' = \sin(\alpha)$, поскольку точка $P$ находится на единичной окружности (расстояние от начала координат до точки равно 1). Задача сводится к нахождению всех углов $\alpha$, для которых значения косинуса и синуса соответствуют заданным координатам.

1) Требуется найти все углы $\alpha$, чтобы получить точку с координатами $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$. Это означает, что мы должны решить систему уравнений:
$\cos(\alpha) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin(\alpha) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Так как и косинус, и синус имеют отрицательные значения, угол $\alpha$ находится в третьей координатной четверти. Основной угол (в диапазоне от $0$ до $2\pi$), который удовлетворяет этим условиям, — это $\alpha = \frac{5\pi}{4}$. Поскольку тригонометрические функции являются периодическими с периодом $2\pi$, все возможные углы можно найти, прибавляя к основному углу целое число полных оборотов ($2\pi k$).
Ответ: $\frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) Требуется найти все углы $\alpha$, чтобы получить точку с координатами $(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2})$. Это означает, что мы должны решить систему уравнений:
$\cos(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin(\alpha) = -\frac{1}{2}$
Оба значения также отрицательны, что соответствует углу в третьей координатной четверти. Основной угол, для которого косинус равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$, а синус равен $-\frac{1}{2}$, — это $\alpha = \frac{7\pi}{6}$. Учитывая периодичность, общая формула для всех таких углов имеет вид: $\alpha = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.
Ответ: $\frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.