Номер 944, страница 280 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

944. Найти координаты точки, полученной поворотом точки P(1; 0) на заданный угол $(k \in \mathbb{Z})$:

1) $\frac{\pi}{2} \pm \pi$;

2) $\frac{\pi}{4} \pm \pi$;

3) $-\frac{3\pi}{2} \pm \pi k$;

4) $-\pi + \pi k$.

Для нахождения координат точки, полученной поворотом начальной точки $P(1; 0)$ на заданный угол $\alpha$ вокруг начала координат, используются формулы тригонометрии на единичной окружности. Новые координаты $(x, y)$ точки будут равны $x = \cos(\alpha)$ и $y = \sin(\alpha)$.

1) $\frac{\pi}{2} \pm \pi$

В данном случае угол поворота $\alpha$ может принимать два значения:
а) $\alpha_1 = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$
б) $\alpha_2 = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}$
Найдем координаты для каждого случая.
Для $\alpha_1 = \frac{3\pi}{2}$:
$x_1 = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$
$y_1 = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$
Координаты точки: $(0; -1)$.
Для $\alpha_2 = -\frac{\pi}{2}$:
$x_2 = \cos(-\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$
$y_2 = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$
Координаты точки также $(0; -1)$.
Таким образом, в обоих случаях результатом является одна и та же точка.
Ответ: $(0; -1)$.

2) $\frac{\pi}{4} \pm \pi$

Угол поворота $\alpha$ может принимать два значения:
а) $\alpha_1 = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$
б) $\alpha_2 = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}$
Найдем координаты для каждого случая.
Для $\alpha_1 = \frac{5\pi}{4}$:
$x_1 = \cos(\frac{5\pi}{4}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$y_1 = \sin(\frac{5\pi}{4}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Координаты точки: $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Для $\alpha_2 = -\frac{3\pi}{4}$:
$x_2 = \cos(-\frac{3\pi}{4}) = \cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$y_2 = \sin(-\frac{3\pi}{4}) = -\sin(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Координаты точки также $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.
В обоих случаях результатом является одна и та же точка.
Ответ: $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

3) $-\frac{3\pi}{2} \pm \pi k$

Задана серия углов $\alpha_k = -\frac{3\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Знак $\pm$ перед $\pi k$ не создает нового множества углов, так как $k$ пробегает все целые числа, положительные и отрицательные. Рассмотрим два случая в зависимости от четности $k$.
Случай 1: $k$ — четное число.
Пусть $k = 2n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Угол $\alpha = -\frac{3\pi}{2} + 2\pi n$. Эти углы соответствуют на единичной окружности той же точке, что и угол $-\frac{3\pi}{2}$ (или $\frac{\pi}{2}$).
$x = \cos(-\frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$
$y = \sin(-\frac{3\pi}{2}) = -\sin(\frac{3\pi}{2}) = -(-1) = 1$
Координаты точки: $(0; 1)$.
Случай 2: $k$ — нечетное число.
Пусть $k = 2n + 1$, где $n \in \mathbb{Z}$. Угол $\alpha = -\frac{3\pi}{2} + (2n+1)\pi = -\frac{3\pi}{2} + \pi + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Эти углы соответствуют на единичной окружности той же точке, что и угол $-\frac{\pi}{2}$.
$x = \cos(-\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$
$y = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$
Координаты точки: $(0; -1)$.
В результате поворота на заданные углы могут быть получены две точки.
Ответ: $(0; 1)$ и $(0; -1)$.

4) $-\pi + \pi k$

Задана серия углов $\alpha_k = -\pi + \pi k = \pi(k-1)$, где $k \in \mathbb{Z}$. Рассмотрим два случая в зависимости от четности $k$.
Случай 1: $k$ — нечетное число.
Пусть $k = 2n+1$, где $n \in \mathbb{Z}$. Тогда $k-1 = 2n$, и угол $\alpha = 2\pi n$.
$x = \cos(2\pi n) = 1$
$y = \sin(2\pi n) = 0$
Координаты точки: $(1; 0)$. Это исходная точка $P$.
Случай 2: $k$ — четное число.
Пусть $k = 2n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Тогда $k-1 = 2n-1$, и угол $\alpha = (2n-1)\pi$. Это нечетное кратное $\pi$.
$x = \cos((2n-1)\pi) = -1$
$y = \sin((2n-1)\pi) = 0$
Координаты точки: $(-1; 0)$.
В результате поворота на заданные углы могут быть получены две точки.
Ответ: $(1; 0)$ и $(-1; 0)$.