Номер 938, страница 279 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

938. Найти координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки $(1; 0)$ на угол:

1) $4\pi$;

2) $-\frac{3}{2}\pi$;

3) $-6,5\pi$;

4) $\frac{\pi}{4}$;

5) $\frac{\pi}{3}$;

6) $-45^\circ$.

Координаты $(x; y)$ точки на единичной окружности, полученной поворотом начальной точки $(1; 0)$ на угол $\alpha$, находятся по формулам: $x = \cos(\alpha)$ и $y = \sin(\alpha)$.

1) Для угла $\alpha = 4\pi$.
Координаты точки: $x = \cos(4\pi)$, $y = \sin(4\pi)$.
Функции синуса и косинуса являются периодическими с периодом $2\pi$. Угол $4\pi$ соответствует двум полным оборотам ($4\pi = 2 \cdot 2\pi$). Следовательно, точка возвращается в свое начальное положение.
$x = \cos(4\pi) = \cos(0) = 1$
$y = \sin(4\pi) = \sin(0) = 0$
Координаты полученной точки: $(1; 0)$.
Ответ: $(1; 0)$.

2) Для угла $\alpha = -\frac{3}{2}\pi$.
Координаты точки: $x = \cos(-\frac{3\pi}{2})$, $y = \sin(-\frac{3\pi}{2})$.
Используем свойства четности косинуса $(\cos(-z) = \cos(z))$ и нечетности синуса $(\sin(-z) = -\sin(z))$:
$x = \cos(-\frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$
$y = \sin(-\frac{3\pi}{2}) = -\sin(\frac{3\pi}{2}) = -(-1) = 1$
Координаты полученной точки: $(0; 1)$.
Ответ: $(0; 1)$.

3) Для угла $\alpha = -6,5\pi$.
Координаты точки: $x = \cos(-6,5\pi)$, $y = \sin(-6,5\pi)$.
Чтобы упростить угол, можно добавить целое число полных оборотов ($2\pi$). Добавим $8\pi$ (4 оборота):
$-6,5\pi + 8\pi = 1,5\pi = \frac{3\pi}{2}$.
Тогда:
$x = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$
$y = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$
Координаты полученной точки: $(0; -1)$.
Ответ: $(0; -1)$.

4) Для угла $\alpha = \frac{\pi}{4}$.
Координаты точки: $x = \cos(\frac{\pi}{4})$, $y = \sin(\frac{\pi}{4})$.
Это табличные значения для угла в $45^\circ$:
$x = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$y = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Координаты полученной точки: $(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.
Ответ: $(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.

5) Для угла $\alpha = \frac{\pi}{3}$.
Координаты точки: $x = \cos(\frac{\pi}{3})$, $y = \sin(\frac{\pi}{3})$.
Это табличные значения для угла в $60^\circ$:
$x = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
$y = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Координаты полученной точки: $(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.
Ответ: $(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.

6) Для угла $\alpha = -45^\circ$.
Сначала переведем градусы в радианы: $-45^\circ = -45 \cdot \frac{\pi}{180} = -\frac{\pi}{4}$ радиан.
Координаты точки: $x = \cos(-\frac{\pi}{4})$, $y = \sin(-\frac{\pi}{4})$.
Используем свойства четности и нечетности:
$x = \cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$y = \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Координаты полученной точки: $(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Ответ: $(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.