Номер 949, страница 280 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

949. Найти координаты точки, полученной поворотом точки $P(1; 0)$ на заданный угол ($k \in Z$):

1) $-\frac{3\pi}{2} + 2\pi k$;

2) $\frac{5\pi}{2} + 2\pi k$;

3) $\frac{7\pi}{2} + 2\pi k$;

4) $-\frac{9\pi}{2} + 2\pi k$.

Для нахождения координат точки, полученной поворотом начальной точки $P(1; 0)$ на угол $\alpha$, используются формулы $x = \cos(\alpha)$ и $y = \sin(\alpha)$. Точка $P(1; 0)$ является начальной точкой на единичной окружности, соответствующей углу $0$ радиан. Поворот на угол $\alpha$ перемещает эту точку в новое положение $(x, y)$.

Слагаемое $2\pi k$ в угле поворота (где $k$ — целое число) означает совершение $k$ полных оборотов по $360^\circ$ ($2\pi$ радиан). Поскольку полный оборот возвращает точку в исходное положение, это слагаемое не влияет на конечные координаты. Таким образом, $\cos(\alpha + 2\pi k) = \cos(\alpha)$ и $\sin(\alpha + 2\pi k) = \sin(\alpha)$.

1) $-\frac{3\pi}{2} + 2\pi k$

Для нахождения координат новой точки $P'$ вычислим косинус и синус угла $\alpha = -\frac{3\pi}{2}$.

$x = \cos(-\frac{3\pi}{2})$

$y = \sin(-\frac{3\pi}{2})$

Используем свойства тригонометрических функций: $\cos(-t) = \cos(t)$ (четная функция) и $\sin(-t) = -\sin(t)$ (нечетная функция).

$x = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$

$y = -\sin(\frac{3\pi}{2}) = -(-1) = 1$

Альтернативно, можно привести угол к положительному значению в пределах одного оборота: $-\frac{3\pi}{2} + 2\pi = \frac{\pi}{2}$.

$x = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

$y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

Координаты точки: $(0; 1)$.

Ответ: $(0; 1)$.

2) $\frac{5\pi}{2} + 2\pi k$

Вычислим косинус и синус угла $\alpha = \frac{5\pi}{2}$. Упростим угол, выделив целое число оборотов:

$\frac{5\pi}{2} = \frac{4\pi + \pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$

Поскольку $2\pi$ — это полный оборот, мы можем его отбросить.

$x = \cos(\frac{5\pi}{2}) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

$y = \sin(\frac{5\pi}{2}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

Координаты точки: $(0; 1)$.

Ответ: $(0; 1)$.

3) $\frac{7\pi}{2} + 2\pi k$

Вычислим косинус и синус угла $\alpha = \frac{7\pi}{2}$. Упростим угол:

$\frac{7\pi}{2} = \frac{4\pi + 3\pi}{2} = 2\pi + \frac{3\pi}{2}$

Отбросив полный оборот $2\pi$, получим угол $\frac{3\pi}{2}$.

$x = \cos(\frac{7\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$

$y = \sin(\frac{7\pi}{2}) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$

Координаты точки: $(0; -1)$.

Ответ: $(0; -1)$.

4) $-\frac{9\pi}{2} + 2\pi k$

Вычислим косинус и синус угла $\alpha = -\frac{9\pi}{2}$.

$x = \cos(-\frac{9\pi}{2}) = \cos(\frac{9\pi}{2})$

$y = \sin(-\frac{9\pi}{2}) = -\sin(\frac{9\pi}{2})$

Упростим угол $\frac{9\pi}{2}$, выделив целое число оборотов:

$\frac{9\pi}{2} = \frac{8\pi + \pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2} = 2 \cdot (2\pi) + \frac{\pi}{2}$

Отбросив два полных оборота $4\pi$, получим угол $\frac{\pi}{2}$.

$x = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

$y = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$

Координаты точки: $(0; -1)$.

Ответ: $(0; -1)$.