Номер 953, страница 280 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

953. Две точки $A$ и $B$, находящиеся на противоположных концах диаметра, начинают двигаться по окружности в одном направлении. Точка $A$ в каждую минуту описывает дугу в $60^\circ$, точка $B$ — дугу в $48^\circ$. Через сколько минут после начала движения произойдёт первое; второе; $k$-е совпадение точек?

Для решения задачи введем угловые скорости точек A и B. Пусть $v_A$ — угловая скорость точки A, а $v_B$ — угловая скорость точки B. Из условия имеем: $v_A = 60^\circ$ в минуту. $v_B = 48^\circ$ в минуту.

Точки начинают движение из противоположных концов диаметра, что означает, что начальное угловое расстояние между ними составляет $180^\circ$. Они движутся в одном направлении. Поскольку $v_A > v_B$, точка A будет догонять точку B.

Относительная скорость, с которой точка A догоняет точку B, равна разности их скоростей: $v_{отн} = v_A - v_B = 60^\circ/\text{мин} - 48^\circ/\text{мин} = 12^\circ/\text{мин}$. Это значит, что каждую минуту расстояние (угол) между точкой A и точкой B сокращается на $12^\circ$.

первое;

Первое совпадение произойдет, когда точка A полностью сократит начальное отставание в $180^\circ$. Время $t_1$, необходимое для этого, можно рассчитать, разделив начальное угловое расстояние на относительную скорость: $t_1 = \frac{180^\circ}{v_{отн}} = \frac{180^\circ}{12^\circ/\text{мин}} = 15$ минут.

Ответ: через 15 минут.

второе;

После первого совпадения точки находятся в одном месте. Для того чтобы они встретились во второй раз, более быстрая точка A должна опередить точку B на полный круг, то есть на $360^\circ$. Время $\Delta t$, которое для этого потребуется, — это период между совпадениями. $\Delta t = \frac{360^\circ}{v_{отн}} = \frac{360^\circ}{12^\circ/\text{мин}} = 30$ минут. Следовательно, время второго совпадения $t_2$ равно времени первого совпадения плюс этот интервал времени: $t_2 = t_1 + \Delta t = 15 \text{ минут} + 30 \text{ минут} = 45$ минут.

Ответ: через 45 минут.

k-e

Время $k$-го совпадения можно найти, используя общую формулу. Первое совпадение происходит через 15 минут, а каждое последующее — через 30 минут. Это формирует арифметическую прогрессию, где первый член $t_1 = 15$, а разность $d = 30$. Время $k$-й встречи $t_k$ можно найти по формуле: $t_k = t_1 + (k-1)d$ Подставим наши значения: $t_k = 15 + (k-1) \cdot 30 = 15 + 30k - 30 = 30k - 15$ минут. Эту формулу можно также представить в виде: $t_k = 15(2k-1)$ минут, где $k$ — номер встречи ($k = 1, 2, 3, \ldots$).

Ответ: через $15(2k-1)$ минут.