Номер 962, страница 284 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

962. Найти значение выражения:

1) $3\sin\frac{\pi}{6} + 2\cos\frac{\pi}{6} - \operatorname{tg}\frac{\pi}{3}$;

2) $5\sin\frac{\pi}{4} + 3\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} - 5\cos\frac{\pi}{4} - 10\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4}$;

3) $(2\operatorname{tg}\frac{\pi}{6} - \operatorname{tg}\frac{\pi}{3}) : \cos\frac{\pi}{6}$;

4) $\sin\frac{\pi}{3} \cdot \cos\frac{\pi}{6} - \operatorname{tg}\frac{\pi}{4}$.

1) $3\sin\frac{\pi}{6}+2\cos\frac{\pi}{6}-\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}$

Для нахождения значения выражения подставим табличные значения тригонометрических функций:

$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$

Подставим значения в выражение и выполним вычисления:

$3\sin\frac{\pi}{6}+2\cos\frac{\pi}{6}-\operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = 3 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} = \frac{3}{2} + \sqrt{3} - \sqrt{3} = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: $1.5$

2) $5\sin\frac{\pi}{4}+3\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}-5\cos\frac{\pi}{4}-10\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4}$

Для нахождения значения выражения подставим табличные значения тригонометрических функций для угла $\frac{\pi}{4}$:

$\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = 1$

$\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4} = 1$

Подставим значения в выражение и выполним вычисления:

$5\sin\frac{\pi}{4}+3\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}-5\cos\frac{\pi}{4}-10\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4} = 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \cdot 1 - 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 10 \cdot 1$

Слагаемые $5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $-5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ взаимно уничтожаются. Остается:

$3 - 10 = -7$

Ответ: $-7$

3) $(2\operatorname{tg}\frac{\pi}{6}-\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}):\cos\frac{\pi}{6}$

Для нахождения значения выражения подставим табличные значения тригонометрических функций:

$\operatorname{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$

$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Сначала вычислим значение выражения в скобках:

$2\operatorname{tg}\frac{\pi}{6}-\operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac{3\sqrt{3}}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Теперь выполним деление:

$(-\frac{\sqrt{3}}{3}) : \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{2}{3}$

Ответ: $-\frac{2}{3}$

4) $\sin\frac{\pi}{3}\cdot\cos\frac{\pi}{6}-\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}$

Для нахождения значения выражения подставим табличные значения тригонометрических функций:

$\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = 1$

Подставим значения в выражение и выполним вычисления:

$\sin\frac{\pi}{3}\cdot\cos\frac{\pi}{6}-\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 = \frac{(\sqrt{3})^2}{2 \cdot 2} - 1 = \frac{3}{4} - 1 = \frac{3}{4} - \frac{4}{4} = -\frac{1}{4}$

Ответ: $-\frac{1}{4}$